专题限时集训(十三)圆锥曲线中的综合问题(对应学生用书第103页)(限时：40分钟)题型1圆锥曲线中的定值问题3题型2圆锥曲线中的最值，范围问题1,4题型3圆锥曲线中的探索性问题21．(2017·河南洛阳二模)已知动圆M过定点E(2,0)，且在y轴上截得的弦PQ的长为4.(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)设A，B是轨迹C上的两点，且OA·OB＝－4，F(1,0)，记S＝S△OFA＋S△OAB，求S的最小值.【导学号：07804096】[解](1)设M(x，y)，PQ的中点为N，连接MN(图略)，则|PN|＝2，MN⊥PQ，∴|MN|2＋|PN|2＝|PM|2.又|PM|＝|EM|，∴|MN|2＋|PN|2＝|EM|2，∴x2＋4＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x.∴动圆圆心M的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)设A，B，不妨令y1＞0，则S△OFA＝·|OF|·y1＝y1，∵OA·OB＝－4，∴x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－4，解得y1y2＝－8，①当y1＝－y2时，AB⊥x轴，A(2,2)，B(2，－2)，S△AOB＝4，S△OFA＝，S＝5.当y1≠－y2时，直线AB的方程为＝，即y－y1＝，令y＝0，得x＝2，∴直线AB恒过定点(2,0)，设定点为E，∴S△OAB＝|OE|·|y1－y2|＝y1－y2，由①可得S△OAB＝y1＋，∴S＝S△OFA＋S△OAB＝y1＋＝y1＋≥2＝4.综上，Smin＝4.2．(2017·陕西教学质量检测)已知F1，F2为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.【导学号：07804097】[解](1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2.∴椭圆E：＋＝1.将P代入可得b2＝3，∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝.|AC|＝|x1－x2|＝＝.∵直线BD的斜率为－，∴|BD|＝＝.∴＋＝＋＝.综上，2λ＝＋＝，∴λ＝.故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．3．(2017·长沙模拟)如图134，P是直线x＝4上一动点，以P为圆心的圆Г过定点B(1,0)，直线l是圆Г在点B处的切线，过A(－1,0)作圆Г的两条切线分别与l交于E，F两点．图134(1)求证：|EA|＋|EB|为定值；(2)设直线l交直线x＝4于点Q，证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.[解](1)设AE切圆Г于点M，直线x＝4与x轴的交点为N，故|EM|＝|EB|.从而|EA|＋|EB|＝|AM|＝＝＝＝＝4.所以|EA|＋|EB|为定值4.(2)由(1)同理可知|FA|＋|FB|＝4，故E，F均在椭圆＋＝1上．设直线EF的方程为x＝my＋1(m≠0)．令x＝4，求得y＝，即Q点纵坐标yQ＝.由得，(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有y1＋y2＝－，y1y2＝－.因为E，B，F，Q在同一条直线上，所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|等价于(yB－y1)(yQ－y2)＝(y2－yB)(yQ－y1)，即－y1·＋y1y2＝y2·－y1y2，等价于2y1y2＝(y1＋y2)·.将y1＋y2＝－，y1y2＝－代入，知上式成立．所以|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.4．(2017·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求OA·OB的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.【导学号：07804098】[解](1)由题意知＝，＝b，即b＝.又a2＝b2＋c2，所以a＝2，c＝1.故椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.则Δ＝322k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，解得0≤k2＜.易知x1＋x2＝，x1x2＝，所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－4)(x2－4)＝(1＋k2)x1x2－4k2(x1＋x2)＋16k2＝(1＋k2)·－4k2·＋16k2＝25－.因为0≤k2＜，所以－≤－＜－，所以－4≤25－＜，所以OA·OB的取值范围为.(3)因为点B，E关于x轴对称，所以E(x2，－y2)，所以直线AE的方程为y－y1＝(x－x1)．令y＝0，可得x＝x1－.因为y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)，所以x＝x1－＝＝＝1.所以直线AE与x轴交于定点(1,0)．
