【大高考】2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第5节抛物线及其性质高考AB卷理抛物线的定义及方程1.(2013·全国Ⅱ，11)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为()A.y2＝4x或y2＝8xB.y2＝2x或y2＝8xC.y2＝4x或y2＝16xD.y2＝2x或y2＝16x解析设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.由y＝2px0，得16＝2p，解之得p＝2，或p＝8.所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.答案C2.(2014·大纲全国，21)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程.解(1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)、N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3).故MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋＋＝.化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.抛物线的几何性质3.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0，2)，D，点A(x0，2)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，2)在圆x2＋y2＝r2上，∴x＋8＝r2，②点D在圆x2＋y2＝r2上，∴5＋＝r2，③联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.答案B4.(2015·全国Ⅰ，20)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N(2，a).又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.抛物线的定义及方程1.(2012·安徽，9)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B.C.D.2解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A点坐标为(2，2)，则直线AB的斜率k＝＝2.∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即为2x－y－2＝0，则点O到该直线的距离为d＝.由消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝.∴|BF|＝x2＋1＝，∴|AB|＝3＋＝.∴S△AOB＝|AB|·d＝××＝.答案C2.(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.解析由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.答案23.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.解...
