【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第八章平面解析几何8.6抛物线课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．(2016·重庆渝中区一模)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，双曲线C的渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝4x解析： 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，∴双曲线C为等轴双曲线，即a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又 双曲线C的渐近线与抛物线y2＝2px交于A，B两点，如图所示，设点A(x，y)，∴|OM|＝x，|AM|＝y.又 △OAB的面积为xy＝4，∴x＝2，y＝2.又 点A在抛物线上，∴22＝2p·2.解得p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.故选C.答案：C2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为＋＝1. 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由椭圆性质可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.答案：B3．(2016·武汉质检)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1(a>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()A.B.C．2D．3解析：依题意可知抛物线的准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，由题意得(－1,2)在双曲线上，即－4＝1，解得a2＝，所以e＝＝.故选B.答案：B4．(2014·高考上海卷)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．解析： c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.∴抛物线的准线方程为x＝－2.答案：x＝－25．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为__________．解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案：y2＝4x6.(2014·高考湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.解析： 正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴C，F.又 点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，∴解得＝＋1.答案：＋17．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x.(2) 点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)、M(0,2)．又F(1,0)，∴kAF＝. MN⊥FA，∴kMN＝－故FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立方程①②，解得x＝，y＝.∴N的坐标为.8．(2014·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.(1)求C的方程；(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．故MN的中点为E，|MN|＝|y3－y4|＝.由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋2＋2＝，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[B级能力突破]1．(2015·高考四川卷)设直线l与抛物线y2＝...
