专题：导数及其应用（选修II）(陈晓龙)VIP免费

专题：导数及其应用（选修II）温州中学陈晓龙一、知识地位分析：导数是高中数学新教材中新增的知识之一,体现了现代数学思想，在研究函数性质时，有独到之处。纵观2004年各地的新课程高考试卷，大多数以一个大题的形式考察这部分内容。内容主要是与单调性、最值、切线这三方面有关。今年是我省新教材实施的第二届高考，虽然去年已然考察这方面的内容，但作为新教材的新增内容，仍应引起我们足够的重视。复习中注重导数在解决科技、经济、社会中的某些实际问题中的应用。本节专题分两个课时：1、导数的知识点回顾及基本运用；2、应用导数工具解决函数、不等式等问题及应用问题。二、教学设计第一课时：考点回顾：设计三个小题，回顾导数定义及其基本运用1、设f（x）在x处可导，a，b为非零常数，则=A、f（x）B、（a+b）f（x）C、（a-b）f（x）D、f（x）答案B2、某汽车启动阶段的路程函数为S（t）=2t-5t，则t=2秒时，汽车的速度和加速度分别为答案：4，33、（2004年浙江T12）设是函数的导函数，的图象如图1所示，则的图象最有可能的是（）图1用心爱心专心答案D例题讲解：（包括4个大题，强调导数的运算法则和简单运用）例1、求下列函数的导数：设计意图：复习导数的运算法则（1）f（x）=e（sinx+cosx）答案：2ecosx（2）f（x）=ln（x+2）答案：（3）f（x）=答案：易错点：混淆e与a、lnx与logx导数之间的区别。例2、2004全国卷T22.已知函数求证：所有的极值点纵坐标排成的数列为等比数列；设计意图：本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等比数列的概念和性质证明：由得解出为整数，从而所以数列是公比的等比数列。例3、过曲线C：y=x-1（x>0）上的点P作C的切线L与坐标轴交于M,N用心爱心专心两点,试求P点的坐标,使OMN的面积最小（与2004年浙江高考题20T类似，设计意图:1、利用导数的几何意义，研究曲线的切线方程,2、利用导数求函数最值）点拨：1、设点P（x，x-1），求出y|=2x，即切线斜率。写出切线方程：y-（x-1）=2x（x-x）2、分别令x=0，y=0求出M，N点的坐标，则S可表示。3、通过求导求S的最小值及P点坐标。答案：P（）思考：若P点不在曲线上，如何求切线方程？已知曲线C：y=x-1（x>0），过点P（2，1）作C的切线L与坐标轴交于M,N两点,试求OMN的面积。易错点：学生往往会把过P点的切线斜率算成y|=22=4。点拨：设切点Q（x，x-1），过Q点的切线斜率为y|=2x，得切线方程y-（x-1）=2x（x-x），P点代入，得x=，代回得切线方程，下略。例4、2004年湖南卷T20．已知函数为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）求函数在区间[0，1]上的最大值.（设计意图：本小题主要考查导数应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.以及分类讨论的思想方法。根据学生情况不同，可事先在题干中对a的范围特殊化，防止分类讨论对导数应用的淡化作用）解：（Ⅰ）（i）当a=0时，令若上单调递增；若上单调递减.（ii）当a<0时，令若上单调递减；若上单调递增；若上单调递减.（Ⅱ）（i）当a=0时，在区间[0，1]上的最大值是用心爱心专心（ii）当时，在区间[0，1]上的最大值是.（iii）当时，在区间[0，1]上的最大值是第二课时：考点回顾：（设计2个小题，体现导数在不等式，实际应用中的作用）1、直线y=x与曲线y=sinx及y=tanx在（0，）上有公共点吗？如何说明？2、最值点都是从极值点中选出来的吗？为什么？例1、求证下列不等式：设计意图：导数在证不等式中的应用(1)当x>0时,（2）求证（3）求证点拨：(1)证f（x）>g（x），x则令h（x）=f（x）-g（x），I)证明h（x）>0，II)h（a）0（2）学生往往采用第（1）小题的解法,令h(x)=,却发现h(x)==>0,与预料不符,另外h(0)不能计算,于是产生这是一道错题的感觉。难道这真是一道错题吗？h(x)>0就能说明h(x)>0吗?可以举出很多例子说明以上想法是错的,如:y=(x>0).所以上述错解只能说明证明策略有问题.那怎么办呢?通过换原,证其等价形式,并且绕开h(0)不能计算的困扰。证，记h（x）=可改证：f（t）=ln（1+t）-t>0(t>0),f(t)=<0,而f(0)=0,所以f(x)