第8章平面解析几何第7讲A组基础关1．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2答案D解析抛物线y＝ax2(a≠0)的方程可化为x2＝，准线方程为y＝－，由题意得＝6，解得a＝或－，所以抛物线的方程为y＝x2或y＝－x2.2．(2019·河南天一大联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝8xD．y2＝16x答案D解析依题意，2＋＝6，故p＝8，故抛物线C的方程为y2＝16x.3．已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，则以AF为直径的圆与y轴的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定答案C解析如图，取AF的中点C，作CN⊥y轴，AM⊥y轴，垂足分别为N，M，可得|CN|＝|AF|，所以以AF为直径的圆与y轴相切．4．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，过抛物线C上一点P作准线l的垂线，垂足为Q.若△QAF的面积为2，则点P的坐标为()A．(1,2)或(1，－2)B．(1,4)或(1，－4)C．(1,2)D．(1,4)答案A解析设点P的坐标为(x0，y0)．因为△QAF的面积为2，所以×2×|y0|＝2，即|y0|＝2，所以x0＝1，所以点P的坐标为(1,2)或(1，－2)．5．(2018·长沙模拟二)已知点P(x0，y0)是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝1上的一个动点，则x0＋|PQ|的最小值为()A．2－1B．2C．3D．4答案C解析设抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过点P(x0，y0)作准线l：x＝－1的垂线，垂足为N，则x0＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|CF|－2＝－2＝5－2＝3，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0＋|PQ|的最小值是3，故选C.6．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝()A．5B．6C．7D．81答案D解析根据题意，过点(－2,0)且斜率为的直线方程为y＝(x＋2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y2－6y＋8＝0，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以FM＝(0,2)，FN＝(3,4)，从而可以求得FM·FN＝0×3＋2×4＝8.故选D.7．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2答案A解析解法一：若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，所以x1x2＝；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴＝－4.解法二：若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为y＝k，联立得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.所以y1y2＝－p2.故＝－4.8．(2018·西宁检测一)已知点P(2,1)，若抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是________．答案2x－y－3＝0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，且y＝4x1，y＝4x2，两式相减得2(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，则直线AB的斜率kAB＝＝2，又弦AB过点P，则所求直线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.9．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为________．答案16解析如图所示，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，直线3x－4y＋4＝0过点(0,1)，由得4y2－17y＋4＝0，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝1，解得y1＝，y2＝4，则＝＝＝16.10．过抛物线C：x2＝2y的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若抛物线C在点B处的切线的斜率为1，则|AF|＝________.答案1解析把抛物线C的方程x2＝2y改写为y＝求导得y′＝x，因为抛物线C在点B处的切线斜率为1，即y′＝xB＝1，所以点B的坐标为，抛物线的焦点F的坐标为，所以直线l的方程为y＝，所以A，|AF|＝1.B组能力关1．(2018·衡水调研)已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为()A．12B．24C．16D．32答案D解析当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，2∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32>32，综上可知，y＋y≥32.∴y＋y的最小值为32.2.如图，已知直线与抛物线x2＝2py交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交A...
