课时作业49双曲线1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(A)A.B．3C.mD．3m解析：由题意知，双曲线的标准方程为－＝1，其中a2＝3m，b2＝3，故c＝＝，不妨取F(，0)，一条渐近线为y＝x，化成一般式即为x－y＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝，故选A.2．(2019·河南洛阳尖子生联考)设F1、F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(D)A．4B．3C．2D．1解析：连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故选D.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(B)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：方法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k＞0)，即－＝1， 双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1，故选B.方法二： 椭圆＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴a2＋b2＝(±3)2＝9①， 双曲线的一条渐近线为y＝x，∴＝②.联立①②可解得a2＝4，b2＝5.∴双曲线C的方程为－＝1.4．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是(B)A．32B．16C．84D．4解析：由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则F2P·F2F1的值为(B)A．3B．2C．－3D．－2解析：由题意及正弦定理得＝＝e＝2，∴|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2.又|F1F2|＝4，由余弦定理可知cos∠PF2F1＝＝＝，∴F2P·F2F1＝|F2P|·|F2F1|cos∠PF2F1＝2×4×＝2.故选B.6．(2019·山东泰安联考)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的范围是(A)A.B.C．(1,2)D．(2，＋∞)解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得＜a，即c＞2b，即c2＞4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2＞4(c2－a2)，即c2＜a2，所以e＝＜，又知e＞1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.7．(2019·河南安阳一模)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是(0,2)．解析：对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.本题中，双曲线＋＝1即－＝1，其焦点在x轴上，则解得4＜m＜8，则焦点到渐近线的距离d＝∈(0,2)．8．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为4|OF|＝|AF|＋|BF|，所以4×＝y1＋＋y2＋，即y1＋y2＝p.①由消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝.②由①②可得＝，故双曲线的渐近线方程为y＝±x.9．(2019·河北名校名师俱乐部模拟)已知F1、F2分别是双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于4.解析：由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形， ∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形．∴|BA|...
