（全国通用版）高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标22 解三角形应用举例-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课时达标第22讲解三角形应用举例[解密考纲]本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等．一、选择题1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里．故选A．2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是(D)A．100mB．400mC．200mD．500m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m.3．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝(A)A．B．C．D．解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.4．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，设该建筑物的高度为hm，则h＝(A)A．30＋30B．30＋15C．15＋30D．15＋15解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝.由正弦定理，得＝，所以PB＝＝30(＋)，故建筑物的高度h＝PBsin45°＝30(＋)×＝30＋30.5．(2018·河南天一大联考)2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北θ的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和θ的值分别为(附：≈8.585)(A)A．858.5,60°B．858.5,30°C．717,60°D．717,30°解析如图，根据题意，3小时后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内，根据余弦定理得t2＝9002＋902－2×90×900cosθ，t2＝9002＋8102－2×810×900cosθ，解得cosθ＝，所以θ＝60°，∴t2＝9002＋902－2×90×900cos60°＝737100，∴t＝858.5.故选A．6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝(C)A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析 tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．故选C．二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile，此船的航速是__32__nmile/h.解析设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°.由正弦定理，得＝，∴v＝32nmile/h.8．江岸边有一炮台OA高30m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距__10__m.解析OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理，得MN＝＝＝10(m)．9．某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是__3__km.解析由题意...