第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数图象4,5,9三角函数性质1,6,7,8,10,11三角恒等变换2,3,12一、选择题1.(2018·广西桂林市一模)下列函数中,最小正周期为π,且图象关于原点对称的函数是(A)(A)y=cos(2x+)(B)y=sin(2x+)(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sinx+cosx解析:对于选项A,y=-sin2x,T==π,且图象关于原点对称.故选A.2.(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知sin(x+)=,则sin4x-2cos3xsinx等于(B)(A)(B)-(C)(D)-解析:由sin4x=sin(3x+x)=sin3xcosx+cos3xsinx可得sin4x-2cos3xsinx=sin3xcosx-cos3xsinx=sin2x=-cos[2(x+)]=2sin2(x+)-1=-.故选B.3.(2018·河北武邑中学调研)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ终边过点P(2,4),则tan(θ+)等于(A)(A)-3(B)-(C)(D)3解析:由三角函数定义可得tanθ==2.所以tan(θ+)===-3.选A.4.(2018·江西省六校联考)设ω>0,函数y=sin(ωx+)-1的图象向左平移个单位后与原图象重合,则ω的最小值是(D)(A)(B)(C)(D)3解析:因为图象向左平移个单位后与原图象重合,所以是一个周期的整数倍,即=·k,ω=3k,k∈Z.ω的最小值是3.选D.5.(2018·辽宁葫芦岛二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则下列说法正确的是(B)(A)函数f(x)的周期为π(B)函数y=f(x-π)为奇函数(C)函数f(x)在[-π,]上单调递增(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称解析:观察图象可得,函数的最小值为-2,所以A=2,又由图象可知函数图象过(0,),(,-2),即结合ω>0,0<φ<π可得ω=,φ=,或ω=,φ=,又T=>,即ω<,所以f(x)=2sin(x+),显然A选项错误;对于B,f(x-π)=2sin[(x-π)+]=2sinx,是奇函数;对于C,x∈[-π,],则x+∈[0,π],f(x)不单调;对于D,当x=时,f(x)=2sin(×+)=2cos≠0,不正确.故选B.6.(2018·陕西西工大附中七模)已知f(x)=sin(2017x+)+cos(2017x-)的最大值为A,若存在实数x1,x2,使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=sin(2017x+)+cos(2017x-)=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x=2sin(2017x+),所以A=2,|x1-x2|≥=,所以A|x1-x2|≥.选B.7.(2018·河南洛阳联考)已知函数f(x)=sin(sinx)+cos(sinx),x∈R,则下列说法正确的是(C)(A)函数f(x)是周期函数且最小正周期为π(B)函数f(x)是奇函数(C)函数f(x)在区间[0,]上的值域为[1,](D)函数f(x)在[,]上是增函数解析:A中,f(x+π)=sin[sin(x+π)]+cos[sin(x+π)]=sin(-sinx)+cos(-sinx)=-sin(sinx)+cos(sinx)≠f(x),A不对;B中,f(-x)=sin[sin(-x)]+cos[sin(-x)]=-sin(sinx)+cos(sinx)≠-f(x),B不对;C中,令t=sinx,因为x∈[0,],所以t∈[0,1],则y=sint+cost=sin(t+),t∈[0,1],所以t+∈[,1+],所以sin(t+)∈[,1],所以y∈[1,],C正确;D中,f(x)=sin(sinx+),令t=sinx+,则y=sint,内层函数t=sinx+在[,]上单调,而x∈[,]时,t∈[+,1+],此时外层函数y=sint不单调,D不对.故选C.二、填空题8.(2018·东北三校二模)函数f(x)=cosxsin(x+)-cos2x+在闭区间[-,]上的最小值是.解析:f(x)=cosx(sinx+cosx)-cos2x+=sin2x-cos2x+=sin2x-(cos2x+1)+=(sin2x-cos2x)=sin(2x-),由x∈[-,],所以2x-∈[-π,],所以当2x-=-时f(x)min=-.答案:-9.(2018·云南玉溪模拟)函数y=Asin(ωx+)+k(A>0,ω>0,||<,x∈R)的部分图象如图所示,则该函数表达式为.解析:根据函数y=Asin(ωx+)+k(A>0,ω>0,||<,x∈R)的部分图象,可得k==1,A==2,×=-2,所以ω=.再根据五点法作图可得×2+=,所以=-,故该函数的解析式为y=2sin(x-)+1.答案:y=2sin(x-)+110.(2018·吉林大学附中四模)已知定义域为R的函数f(x)既是奇函数,又是周期为3的周期函数,当x∈(0,)时,f(x)=sinπx,则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是.解析:因为函数f(x)的定义域为R,周期为3,所以f(0)=f()=f()=0,如图所示,画出函数的图象,由图象可知在[0,6]上的零点为0,1,,2,3,4,,5,6,所以共有9个零点.答案:9三、解答题11.(2018·浙江省温州市一模)已知函数f(x)=4cosxcos(x+)+1.(1)求f()的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)f()=4coscos(+)+1=4coscos+1=4××(-)+1=-2.(2)f(x)=4cosxcos(x+)+1=4cosx(-cosx-sinx)+1=-2cos2x-sin2x+1=-sin2x-cos2x=-2sin(2x+).所以,f(x)的最小正周期为π,当2kπ+≤2x+≤+2kπ(k∈Z)时,f(x)单调递增,即f(x)的单调递增区间为[kπ+,+kπ](k∈Z).12.(2018·湖南省永州市一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)方程f(x)=在[0,]上的两解分别为x1,x2,求sin(x1+x2),cos(x1-x2)的值.解:(1)由图象可知A=2,T=-=π,因为T=,所以ω=2,因为f(x)的图象过点(,2),即2sin(2×+)=2,+=2kπ+(k∈Z),即=2kπ+(k∈Z),又因为||<,所以=,所以f(x)=2sin(2x+).(2)因为f(x)的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为,图象f(x)=在[0,]上的两解x1,x2关于直线x=对称,所以x1+x2=,所以sin(x1+x2)=,因为cos(x1-x2)=cos(2x1-)=sin(2x1+),f(x1)=2sin(2x1+)=,所以cos(x1-x2)=.
