立体几何问题感悟体验·快易通1.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,△ADP是边长为4的等腰直角三角形,PC,PD的中点分别为E,F.(1)求证:EF∥平面PAB.(2)求二面角E-AD-B的大小.【解析】(1)在△PCD中,因为E,F分别是PC,PD的中点,所以EF∥CD,因为四边形ABCD为正方形,所以AB∥CD,所以EF∥AB.因为AB⊂平面PAB,EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)方法一:因为四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,作EG⊥平面ABCD于G,EH⊥AD于H,连接GH,所以∠EHG为二面角E-AD-B的平面角.因为△ADP是边长为4的等腰直角三角形,E,F分别是PC,PD的中点,所以GH=GE=2,所以△GEH是等腰直角三角形,∠EHG=45°.故二面角E-AD-B的大小为45°.方法二:因为四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,建立如图所示的空间直角坐标系,因为△ADP是边长为4的等腰直角三角形,所以AP=AB=AD=4,所以A(0,0,0),P(0,0,4),D(-4,0,0),E(-2,2,2),所以=(-4,0,0),=(-2,2,2),=(0,0,4).设平面EAD的法向量为n=(x,y,z),则所以即不妨令z=-1,则y=1,所以n=(0,1,-1)为平面EAD的一个法向量,易知向量=(0,0,4)为平面ABD的一个法向量,设二面角E-AD-B的大小为θ,所以cosθ====,所以二面角E-AD-B的大小为45°.2.已知在如图①所示的矩形ABCD中,AB=,AD=4,E为AD上靠近D的一个四等分点.现将△BCE以BC为旋转轴旋转到△BCF,使平面BCF⊥平面ABCD,设G,H分别为AD,CF的中点,如图②所示.(1)求证:平面BGF⊥平面CDF.(2)求平面BGF与平面DGH夹角的余弦值.【解析】(1)在题图①中,因为AB=,AD=4,E为AD上靠近D的一个四等分点,所以AE=3,DE=1,所以BE=2,CE=2,所以BC2=BE2+CE2,得BE⊥CE,所以在题图②中,BF⊥CF.又平面BCF⊥平面ABCD,且平面BCF∩平面ABCD=BC,DC⊥BC,所以DC⊥平面BCF,所以DC⊥BF.又DC∩CF=C,所以BF⊥平面DCF.又BF⊂平面BGF,所以平面BGF⊥平面CDF.(2)以F为坐标原点,FC,FB所在直线分别为x,y轴,过点F且垂直于平面BCF的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则F(0,0,0),B(0,2,0),G(1,,),H(1,0,0),D(2,0,),所以=(0,2,0),=(1,,),=(-1,,0),=(-1,0,-).设n1=(x1,y1,z1)为平面BFG的法向量,则即即y1=0,令z1=-1,则x1=,所以平面BFG的一个法向量为n1=(,0,-1).设n2=(x2,y2,z2)为平面DGH的法向量,则即令x2=,则y2=1,z2=-1,所以平面DGH的一个法向量为n2=(,1,-1).设θ为平面BFG与平面DGH的夹角,则cosθ===.
