高考达标检测（五十）几何概型命题3角度——长度（角度）、面积、体积一、选择题1.如图所示，A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C.D.解析：选C当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝＝.2．在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为()A.B.C.D.解析：选B如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选B.3．(2017·湖南师大附中检测)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，b，则事件“”发生的概率为()A.B.C.D.解析：选A由题意可知该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，其面积是1.表示的区域为一个边长为的正方形，面积是，所以所求概率为.4．(2017·辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于()A.B.C.D.解析：选D由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为，故选D.5．(2016·长沙三模)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sinx(x∈(0，π))及直线x＝a与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为，则a的值为()A.B.C.D.解析：选B由题意知，阴影部分的面积为sinxdx＝(－cosx)＝－cosa＋cos0＝1－cosa，根据几何概型的概率计算公式知＝，即cosa＝－，而a∈(0，π)，故a＝，故选B.6．(2017·伊春模拟)在区间上随机取一个数x，则sinx＋cosx∈[1，]的概率是()A.B.C.D.解析：选B因为x∈，所以x＋∈，由sinx＋cosx＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，所以x∈，故要求的概率为＝.7．(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，PB＋PC＋2PA＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.解析：选C如图所示，设点M是BC边的中点，因为PB＋PC＋2PA＝0，所以点P是中线AM的中点，所以黄豆落在△PBC内的概率P＝＝，故选C.8．(2016·烟台模拟)在区间[0,1]上任取两个数a，b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为()A.B.C.D.解析：选C要使该函数无零点，只需a2－4b2<0，即(a＋2b)(a－2b)<0. a，b∈[0,1]，a＋2b>0，∴a－2b<0.作出的可行域(如阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P＝＝.二、填空题9．已知线段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128cm3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为xcm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝.答案：10．(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．解析：依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.答案：11．(2017·重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．解析：画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，所以点P恰好落在第二象限的概率为＝＝.答案：12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．解析：设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤2＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.答案：三、解答题13．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,...
