高考达标检测(五十)几何概型命题3角度——长度(角度)、面积、体积一、选择题1.如图所示,A是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为()A.B.C.D.解析:选C当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=,A′点在A点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P==.2.在区间[0,1]上随意选择两个实数x,y,则使≤1成立的概率为()A.B.C.D.解析:选B如图所示,试验的全部结果构成正方形区域,使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心,1为半径的圆的与x轴正半轴,y轴正半轴围成的区域,由几何概型的概率计算公式得,所求概率P==.故选B.3.(2017·湖南师大附中检测)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,b,则事件“”发生的概率为()A.B.C.D.解析:选A由题意可知该不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形,其面积是1.表示的区域为一个边长为的正方形,面积是,所以所求概率为.4.(2017·辽宁五校联考)若实数k∈[-3,3],则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-k=0相切的概率等于()A.B.C.D.解析:选D由点A在圆外可得k<0,由题中方程表示圆可得k>-1或k<-4,所以-1<k<0,故所求概率为,故选D.5.(2016·长沙三模)如图,矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)=sinx(x∈(0,π))及直线x=a与x轴围成,向矩形OABC内随机投掷一点,若该点落在阴影部分的概率为,则a的值为()A.B.C.D.解析:选B由题意知,阴影部分的面积为sinxdx=(-cosx)=-cosa+cos0=1-cosa,根据几何概型的概率计算公式知=,即cosa=-,而a∈(0,π),故a=,故选B.6.(2017·伊春模拟)在区间上随机取一个数x,则sinx+cosx∈[1,]的概率是()A.B.C.D.解析:选B因为x∈,所以x+∈,由sinx+cosx=sin∈[1,],得≤sin≤1,所以x∈,故要求的概率为=.7.(2017·商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是()A.B.C.D.解析:选C如图所示,设点M是BC边的中点,因为PB+PC+2PA=0,所以点P是中线AM的中点,所以黄豆落在△PBC内的概率P==,故选C.8.(2016·烟台模拟)在区间[0,1]上任取两个数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为()A.B.C.D.解析:选C要使该函数无零点,只需a2-4b2<0,即(a+2b)(a-2b)<0. a,b∈[0,1],a+2b>0,∴a-2b<0.作出的可行域(如阴影部分所示),易得该函数无零点的概率P==.二、填空题9.已知线段AC=16cm,先截取AB=4cm作为长方体的高,再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过128cm3的概率为________.解析:依题意,设长方体的长为xcm,则相应的宽为(12-x)cm,由4x(12-x)>128得x2-12x+32<0,4<x<8,因此所求的概率等于=.答案:10.(2017·湖北七市联考)AB是半径为1的圆的直径,M为直径AB上任意一点,过点M作垂直于直径AB的弦,则弦长大于的概率是________.解析:依题意知,当相应的弦长大于时,圆心到弦的距离小于=,因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方,所求的概率等于.答案:11.(2017·重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P,则点P恰好落在第二象限的概率为________.解析:画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示),因为S△ABC=×3×=,S△AOD=×1×1=,所以点P恰好落在第二象限的概率为==.答案:12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD,矩形的一边BC在三角形的底边上,如图,在三角形内任取一点,则该点取自矩形内的最大概率为________.解析:设AD=x,AB=y,则由三角形相似可得=,解得y=a-x,所以矩形的面积S=xy=x(a-x)≤2=,当且仅当x=a-x,即x=时,S取得最大值,所以该点取自矩形内的最大概率为=.答案:三、解答题13.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求方程有实根的概率.解:设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,...