16函数的极值与最值1．(2014·课标全国Ⅱ改编)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．答案必要不充分解析当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．2．(2013·辽宁改编)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)极值情况为________．答案无极大值也无极小值解析由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，令g(x)＝ex－2x2f(x)，x＞0，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2·＝.令g′(x)＝0，得x＝2.当x＞2时，g′(x)＞0；当0＜x＜2时，g′(x)＜0，∴g(x)在x＝2时有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0，从而当x＞0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)无极大值，也无极小值．3．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________.答案12解析f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0，得a＝12，经检验满足．4．设变量a，b满足约束条件z＝|a－3b|的最大值为m，则函数f(x)＝x3－x2－2x＋2的极小值为________．答案－解析据线性规划可得(a－3b)min＝－8，(a－3b)max＝－2，故2≤|a－3b|≤8，即m＝8，此时f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)·(x＋1)，可得当x≤－1时f′(x)>0，当－1
0，故当x＝2时函数取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－.5．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是________．答案[3,12]解析方法一由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，据题意方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，令g(x)＝3x2＋4bx＋c，结合二次函数图象可得只需此即为关于点(b，c)的线性约束条件，作出其对应平面区域，f(－1)＝2b－c，问题转化为在上述线性约束条件下确定目标函数f(－1)＝2b－c的最值问题，由线性规划易知3≤f(－1)≤12.方法二方程3x2＋4bx＋c＝0有两个根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]的条件也可以通过二分法处理，即只需g(－2)g(－1)≤0，g(2)g(1)≤0即可，利用同样的方法也可解答．6．已知函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－x，则当x＝________时，函数f(x)取得极大值．答案0解析当x<0或x>1时，f′(x)>0；当02或a<－1解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.9．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________________．答案00时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1时，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<＋x(x>0)．①令g(x)＝＋x，则g′(x)＝＋1＝.由(1)知，函数h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上单调递增，又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点．故...
