3.2.4二面角及其度量课后训练1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为()A．22B．155C．64D．632．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°3．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角()A．相等B．互补C．关系无法确定D．相等或互补4．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，12BCa，这时二面角B－AD－C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则面APB和面CDP所成二面角的度数是()A．90°B．60°C．45°D．30°6．已知直线l的方向向量v＝(1，－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1,1)，则l与α的夹角为__________．7．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P－BC－A的大小为__________．9．在三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3，23ABBC，求AC与平面PBC所成角的大小．10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝23FD＝4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，求二面角A′－FD－C的余弦值．1参考答案1.答案：C设BC中点为D，则AD⊥平面BB1C1C，故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△ADC1中，AD＝32AB，AC1＝2AB，所以sin∠AC1D＝1ADAC＝64.2.答案：C设AC和平面α所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝22，所以θ＝45°.3.答案：D4.答案：C∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵cos∠BDC＝22222211114441122222aaaBDDCBCBDDCaa，∴∠BDC＝60°.5.答案：C∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角．6.答案：30°cos〈v，u〉＝31||||266vuvu，∴sinθ＝12(θ为l与α的夹角)．7.答案：45°作CD⊥α于D，连DA，DB，DM，∠CAD＝30°，CD＝12AC，CM＝AM＝22AC，sin∠CMD＝22CDCM，故∠CMD＝45°.8.答案：90°设BC中点为D，则PD⊥BC，AD⊥BC，∠PDA就是二面角P－BC－A的平面角．9.答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求．解：由题意PA＝PB＝PC，点P在△ABC内的射影为△ABC的外心，即点P在△ABC内的射影O到点A，B，C的距离相等，又面PAC⊥面ABC，∴O为AC的中点，由直角三角形中的性质可知：∠ABC＝90°，以O为原点，OB�，OC�，OP�为轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0,0，3)，B(6，0,0)，C(0，6，0)，A(0，6，0)．设n＝(x，y，z)为面PBC的法向量，可求得n＝(2，2，2)，AC�＝(0，26，0)．设AC与平面PBC所成的角为θ，2则sinθ＝|cos〈n，AC�〉|＝431283，∴θ＝30°.∴AC与平面PBC所成角的大小为30°.10.答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用平面的法向量来求；也可作出二面角的平面角来求．解：解法一：取线段EF的中点H，连A′H，因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，所以A′H⊥平面BEF.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A′(2,2,22)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)．故FA'�＝(－2,2,22)，FD�＝(6,0,0)．设n＝(x，y，z)为平面A′FD的一个法向量，所以22220,60.xyzx取=2z，则n＝(0，－2，2)．又平面BEF的一个法向量m＝(0,0,1)，故cos〈n，m〉＝·3||||3nmnm.所以二面角A′－DF－C的余弦值为33.解法二：取线段EF的中点H，AF的中点G，连A′G，A′H，GH.3因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF，故A′H⊥AF.又因为G，H是AF，EF的中点，易知GH∥AB，所以GH⊥AF，于是AF⊥面A′GH，所以∠A′GH为二面角A′－DF－C的平面角．在Rt△A′GH中，A′H＝22，GH＝2，A′G＝23，所以cos∠A′GH＝33，故二面角A′－DF－C的余弦值为33.4
