专题限时集训(八)空间位置关系的判断与证明[专题通关练](建议用时：30分钟)1．若a，b是空间中两条不相交的直线，则过直线b且平行于直线a的平面()A．有且仅有一个B．至少有一个C．至多有一个D．有无数个B[ a，b是空间中两条不相交的直线．∴a，b可能平行或异面．若a，b平行，则过直线b且平行于直线a的平面有无数个；若a，b异面，在b上取一点O，过O作c∥a，则b，c确定平面α，∴a平行于α，此时过直线b且平行于直线a的平面只有一个．故选B.]2．(2019·长沙模拟)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为4，底面边长为2.若点M是线段A1C的中点，则直线BM与底面ABC所成角的正切值为()A.B.C.D.C[过点M作MN⊥AC于N，连接BN(图略)，则∠MBN为直线BM与底面ABC所成角，由题意可知MN＝2，BN＝3，所以tan∠MBN＝＝.]3．已知α，β表示两个不同的平面，l表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β，若以其中两个推出另一个构成命题，则正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3C[由①②⇒③、①③⇒②是真命题，而由②③不能得到①，故选C.]4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[因为在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB，CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，即平面ABC⊥平面ADC，故选D.]5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．无数[在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α(如图所示)，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．]6．(2019·银川模拟)如图，四面体ABCD中，CD＝4，AB＝2，E、F分别是AC、BD的中点，若EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于________．30[如图，取AD的中点M，连接ME、MF，则ME∥CD，MF∥AB，因为EF⊥AB，所以EF⊥MF，则∠MEF为EF与CD所成的角，又ME＝2，MF＝1，故∠MEF＝30°.]7．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]8．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．图1图226－1[先求面数有如下两种方法．法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，∴x＋x＋x＝1.∴x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.]9．(2019·永州模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O.以BD为折...
