考点集训(四十七)第47讲空间中的垂直关系1．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，有下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的个数为A．1B．2C．3D．42．已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题正确的是A．异面直线SB与AC所成的角是90°B．BC⊥平面SABC．BC⊥平面SACD．平面SBC⊥平面SAB3．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是A．EF与BB1垂直B．EF与BD垂直C．EF与CD异面D．EF与A1C1异面4．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是A．①②B．②③C．②④D．③④5．正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为____________．6．如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1，F为CD的中点．(1)求证：AF⊥平面CDE；(2)求异面直线AC与BE所成角的余弦值．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.(1)求证：平面DEG⊥平面CFG；(2)求多面体CDEFG的体积．8．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．第47讲空间中的垂直关系【考点集训】1．B2.C3.D4.D5.＋6．【解析】(1)∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF，又∵AC＝AD，F为CD的中点，∴AF⊥CD，又DE∩CD＝D，∴AF⊥平面CDE.(2)∵⇒DE∥AB，取DE中点M，连结AM，CM，则四边形AMEB为平行四边形，∴AM∥BE，则∠CAM为AC与BE所成的角，在△ACM中，AC＝2，AM＝＝＝，CM＝＝＝，由余弦定理得：cos∠CAM＝＝，∴异面直线AC与BE所成的角的余弦值为.7．【解析】(1)由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，又因为EF＝5，所以可得EG⊥GF又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG.(2)过G作GO垂直于EF，GO即为四棱锥G－EFCD的高，所以所求体积为S长方形DEFC·GO＝×5×4×＝16.8．【解析】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C，又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
