第三节圆的方程☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。2015，全国卷Ⅰ，14,5分(圆的方程)2015，全国卷Ⅱ，7,5分(圆的方程)2015，江苏卷，10,5分(圆的方程)2014，陕西卷，12,5分(圆的方程)以选择填空形式出现，难度不大，主要考查圆的方程(标准方程、一般方程)及圆的有关性质。微知识小题练自|主|排|查1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。3．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为，半径r＝。4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。微点提醒1．解答圆的问题的关键注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算。2．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。小|题|快|练一、走进教材1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝2【解析】设圆的方程是(x－3)2＋(y＋1)2＝r2。因为直线3x＋4y＝0与圆相切，所以圆的半径r＝＝1，因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1。故选A。【答案】A2．(必修2P124A组T4改编)已知圆C经过A(5,2)，B(－1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________________。【解析】因为圆心在x轴上，设圆心为(a,0)，所以圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2。又因为A(5,2)，B(－1,4)在圆上。所以解得a＝1，r2＝20。所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝20。【答案】(x－1)2＋y2＝20二、双基查验1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－B．－C.D．2【解析】由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝4，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得a＝－。故选A。【答案】A2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()A．a＜－2或a＞B．－＜a＜0C．－2＜a＜0D．－2＜a＜【解析】方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，∴－2＜a＜。故选D。【答案】D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±1【解析】 点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。【答案】A4．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________。【解析】由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2。当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5。当a＝2时，方程不表示圆。【答案】(－2，－4)55．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________。【解析】设圆心为(a,0)(a>0)，则圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，得a＝2，半径r＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9。【答案】(x－2)2＋y2＝9微考点大课堂考点一求圆的方程【典例1】根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)。【解析】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q点的坐标分别代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0。③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④由①、②、④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0。故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0。(2)解法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2...
