29空间向量解决立体几何问题两妙招——“选基底”与“建系”1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为________．答案，解析如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)，所以x＝，y＝.2．给出下列命题：①AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；④若OP＝OA＋OB，则P，A，B三点共线．其中正确命题的序号是________．答案①解析由向量的运算法则知①正确；只有当向量a，b共线反向且|a|>|b|时成立，故②不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、相交或异面，故③不正确；由＋≠1知，三点不共线，故④不正确．综上可得①正确．3．(2014·无锡模拟)如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．答案90°解析方法一延长A1B1至D，使A1B1＝B1D，则AB1∥BD，∠MBD就是直线AB1和BM所成的角．设三棱柱的各条棱长为2，则BM＝，BD＝2，C1D2＝A1D2＋A1C－2A1D·A1C1cos60°＝16＋4－2×4＝12.DM2＝C1D2＋C1M2＝13，∴cos∠DBM＝＝0，∴∠DBM＝90°.方法二不妨设棱长为2，选择基向量{BA，BC，BB1}，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故〈AB1，BM〉＝90°.4．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________．答案90°解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°.5.如图所示，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO、BO、CO两两垂直；(2)求〈DM，AO〉．(1)证明设VA＝a，VB＝b，VC＝c，正四面体的棱长为1，则VD＝(a＋b＋c)，AO＝(b＋c－5a)，BO＝(a＋c－5b)，CO＝(a＋b－5c)，∴AO·BO＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1·cos60°－9)＝0.∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，∴AO、BO、CO两两垂直．(2)解DM＝DV＋VM＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)．∴|DM|＝＝，|AO|＝＝，DM·AO＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，∴cos〈DM，AO〉＝＝， 〈DM，AO〉∈[0，π]，∴〈DM，AO〉＝45°.6．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．解记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.(1)|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，∴|AC1|＝，即AC1的长为.(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝，|AC|＝，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos〈BD1，AC〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.7．(2014·课标全国Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．(1)证明连结BC1，交B1C于点O，连结AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)解因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC，故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．以O为坐标原点，OB、OB1、OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，OC＝OA，则A(0,0，)，B(1,0,0)，B1(0，，0)，C(0，－，0)，AB1＝(0，，－)，A1B1＝AB＝(1,0，－)，B1C1＝BC＝(－1，－，0)．设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取平面AA1B1的一个法向量n＝(1，，)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取平面A1B1C1...
