高考数学二轮复习 3个大题（17、18、19）保分练（一）——（三）教师用书 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

3个大题（17、18、19）保分练（一）(限时：35分钟满分：36分)17．已知数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.(1)求证：数列{an}为等比数列；(2)设函数f(x)＝logx，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，求Tn＝＋＋＋…＋.解：(1)证明： 数列{an}的前n项和Sn满足an＝1－2Sn.∴a1＝1－2a1，解得a1＝.n≥2时，an－1＝1－2Sn－1，可得an－an－1＝－2an.∴an＝an－1.∴数列{an}是首项和公比均为的等比数列．(2)由(1)可知an＝n，则f(an)＝logan＝n.∴bn＝1＋2＋…＋n＝.∴＝2.∴Tn＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.18.(2017·沈阳模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AB＝2，AA1＝1，E为D1C1的中点，如图所示．(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1∥平面B1EC；(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值．解：(1)连接BC1交B1C于M，连接ME，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示．(2)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两垂直，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为AD＝AB＝2，AA1＝1，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1)．所以BD1＝(－2，－2,1)，CB1＝(2,0,1)，CE＝(0，－1,1)，设平面B1EC的法向量为m＝(x，y，z)，则即不妨令x＝－1，得到平面B1EC的一个法向量为m＝(－1,2,2)，而BD1·m＝2－4＋2＝0，所以BD1⊥m.又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．所以BD1∥平面B1EC．(3)由(2)知BA＝(0，－2,0)，BD1＝(－2，－2,1)，设平面ABD1的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即不妨令x1＝1，得到平面ABD1的一个法向量为n＝(1,0,2)，因为cos〈m，n〉＝＝＝，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为.19．某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：员工编号12345678910年薪(万元)44.5656.57.588.5951(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)从该单位中任选2人，此2人中年薪收入高于7万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；(3)已知员工年薪收入与工作年限呈正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元，5.5万元，6万元，8.5万元，预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程y＝bx＋a中系数计算公式分别为：b＝，a＝－b，其中，为样本均值．解：(1)所求年薪的平均值为(4＋4.5＋6＋5＋6.5＋7.5＋8＋8.5＋9＋51)＝11万元，中位数为＝7万元．(2)10名员工中年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人，ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为ξ012P数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则＝2.5，＝6，(xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，(xi－)(yi－)＝－(1.5)×(－2)＋(－0.5)×(－0.5)＋0.5×0＋1.5×2.5＝7，b＝＝＝1.4，a＝－b＝6－1.4×2.5＝2.5，则线性回归方程为y＝1.4x＋2.5.当x＝5时，y＝1.4×5＋2.5＝9.5，即预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元．3个大题(17、18、19)保分练(二)(限时：35分钟满分：36分)17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cosC，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为，求a，c．解：(1) b＝1，∴a＋＝4cosC＝4×＝，∴2c2＝a2＋1.又A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝，a＝，∴S△ABC＝bcsinA＝bc＝×1×＝.(2) S△ABC＝absinC＝asinC＝，∴sinC＝， a＋＝4cosC，sinC＝，∴2＋2＝1，化简得(a2－7)2＝0，∴a＝，又 a＋＝4cosC，∴cosC＝.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab·cosC＝7＋1－2××1×＝4，从而c＝2.18．(2018届高三·湘中名校联考)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(2)求η的分布列及数学期望E(η)．解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾...