单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒答案C解析根据瞬时速度的意义,可得3秒末的瞬时速度是v=s'|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.设曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.12D.-12答案B解析因为y=x+1x-1的导数为y'=-2(x-1)2,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-12.又因为直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a·(-12)=-1,解得a=-2.3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m>0B.m<0C.m>1D.m<1答案B解析求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.4.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-❑√3]∪[❑√3,+∞)B.[-❑√3,❑√3]C.(-∞,-❑√3)∪(❑√3,+∞)D.(-❑√3,❑√3)答案B解析由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-❑√3≤a≤❑√3.5.函数f(x)=x2+x-lnx的零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当012时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f(12)=34+ln2>0,所以无零点.6.(2018全国Ⅰ,文6)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.7.已知当x∈[12,2]时,a≤1-xx+lnx恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.3答案A解析令f(x)=1-xx+lnx,则f'(x)=x-1x2.当x∈[12,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在区间[12,1)内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,∴在x∈[12,2]上,f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0.8.已知函数f(x)=lnx+tanα(0<α<π2)的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为()A.(π4,π2)B.(0,π3)C.(π6,π4)D.(0,π4)答案A解析 f(x)=lnx+tanα,∴f'(x)=1x.令f(x)=f'(x),得lnx+tanα=1x,即tanα=1x-lnx.设g(x)=1x-lnx,显然g(x)在(0,+∞)内单调递减,而当x→0时,g(x)→+∞,故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g(1)=1.又0<α<π2,∴α∈(π4,π2).9.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)答案D解析 当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,即[f(x)g(x)]'>0,∴当x<0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,∴g(-3)=0,∴f(-3)g(-3)=0.故当x<-3时,f(x)g(x)<0; f(x)g(x)是奇函数,∴当x>0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当00,解得x<3√44,令f'(x)<0,解得x>3√44,故f(x)在(0,3√44)内递增,在(3√44,+∞)内递减,故f(x)的最大值是f(3√44),a=3√44.11.若函数f(x)=x33−a2x2+x+1在区间(12,3)内有极值点,则实数a的取值范围是()A.(2,52)B.[2,52)C.(2,103)D.[2,103)答案C解析若f(x)=x33−a2x2+x+1在区间(12,3)内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间(12,3)内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+1x.因为x∈(12,3),y=x+1x的值域是[2,103),当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是(2,103),故选C.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1,x2,且x1
