专题16导数的综合应用与优化问题本专题特别注意：1.导数与不等式证明2.极值点偏移问题3.导函数为0的替换作用4.导数与数列不等式的证明5.变形后求导6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题8.构造函数问题9.恒成立求参数方法总结：1．有关超越型不等式的证明、方程根的探究等问题，构造函数应用导数推理求解是有效方法之一，也是近几年高考压轴题的常见命题方法之一．2．利用导数解决生活中的优化问题的思路是：阅读审题―――――→引入建模――――――――――――――→解模――――――――――→回归实际．3．在解决生活中的优化问题时应注意：(1)实际问题的意义．(2)建立函数模型后还应根据实际问题情境确定函数的定义域．高考模拟：一、单选题1．已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.2．己知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是(）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由题意，函数，得，得到函数的单调性与最大值，再又方程，解得或，结合图象，即可求解.详解：由题意，函数，可得，当时，，所以函数单调递增，当时，，所以函数单调递减，且，所以函数的最大值为，又方程，解得或，结合图象，可知只有一个实数解，要使得方程恰有三个不同的实数解，则，解得，故选C.点睛：本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数与方程等知识点的综合运用，把方程的解得个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了转化思想方法和数形结合思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.3．已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C详解：由题意可得函数的定义域为，且.令得或，则函数在，上单调递增；令得，则函数在上单调递减. ∴函数的图象如图所示：令，则的增减性与相同，. 关于的方程有四个不等的实根∴有四个不等的实根，即在和上分别有根.令，则.∴，即∴故选C.点睛：本题考查的是有关已知函数零点个数有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合，求得相应的结果.4．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是（）A.B.C.-2D.-1【答案】D【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数存在唯一零点，即，可得在有零点，由可得结果.①若，即，此时的零点为，显然符合题意；②（i）若，即或，若在只有一个零点，则；（ii）若在只有两个零点，则，解得，即的最小值为，故选D.点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、的符号）的方法解答.5．已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，讨论其性质可得的取值范围.详解：函数与的图像有4个不同的交点，即有4个不同的实根，由可得，即其定义域为且，设（且），则则在上单调递增，在上单调递减，但且），故的值域为，设，则,此时此时，函数在上单调递减，在上单调递增，由图像可知，在上单调递减，在上单调递增，且当时，函数函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围为.故选C.点睛：本题考查利用导数眼函数零点问题，注意数形结合思想的应用，解题时注意函数的定义域，属难题．6．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，...
