§14.1几何证明选讲1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半．(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积相等．(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项．(9)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角互补；(ⅱ)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．1．(2014·广东)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________.答案9解析在平行四边形ABCD中，因为EB＝2AE，所以＝＝，故＝3.因为AE∥CD，所以△AEF∽△CDF，所以＝()2＝9.2.如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.答案3．(2014·湖北)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.答案4解析由切割线定理得QA2＝QC·QD＝4，解得QA＝2.由切线长定理得PB＝PA＝2QA＝4.4．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．答案解析设⊙O的半径为r(r>0)， PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝.题型一相似三角形的判定及性质例1如图，已知在△ABC中，点D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．(1)证明 DE⊥BC，D是BC边上的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠ECD，又AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴△ABC∽△FCD.(2)解过点A作AM⊥BC，垂足为点M， △ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴＝()2＝4，又 S△FCD＝5，∴S△ABC＝20，又S△ABC＝×BC×AM＝×10×AM＝20，解得AM＝4，又DE∥AM，∴＝， DM＝DC＝，BM＝BD＋DM＝5＋＝，∴＝，解得DE＝.思维升华(1)三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法．一般的思考程序：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．(2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式，若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，DE∥CA，且交BA的延长线于E，求证：ED·CD＝EA·BD.证明在梯形ABCD中， AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB.又BC＝BC，∴△ABC≌△DCB.∴∠BAC＝∠BDC， AC∥ED，AD∥BC，∴∠E＝∠BAC＝∠BDC，...
