高考数学 专题36 圆的方程热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题36圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。2．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。热点题型一求圆的方程例1、(1)若圆心在x轴上、半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是()A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5B．(x＋)2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5D．(x＋5)2＋y2＝5(2)如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，则该三角形的外接圆方程为________。解析：(1)设圆心坐标为(a,0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5。(2)因为三角形的三边所在的直线方程分别为x＋2y－5＝0，y－2＝0，x＋y－4＝0，解方程组可得三个顶点的坐标，分别设为A(1,2)，B(2,2)，C(3,1)。因为AB的垂直平分线方程为x＝，BC的垂直平分线方程为：x－y－1＝0，解方程组得即圆心坐标为，半径r＝＝，因此，所求圆的方程为2＋2＝。即x2＋y2－3x－y＝0。【提分秘籍】1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程。(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值。2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上。(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上。(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线。提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质。【举一反三】若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1热点题型二与圆有关的最值问题例2、已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0，求：(1)的最大值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最值。解析：(1)设＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率。又x2＋y2－4x＋1＝0表示以(2,0)为圆心，半径为的圆，如图所示。当直线y＝kx与已知圆相切且切点在第一象限时k最大。此时：|CP|＝，|OC|＝2。∴Rt△POC中，∠POC＝60°，k＝tan60°＝。∴的最大值为。(3)方法1：表示圆上一点到原点距离，其最大值为2＋，最小值为2－。∴(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4。方法2：由x2＋y2－4x＋1＝0得(x－2)2＋y2＝3设(θ为参数)，则x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ。∴当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－4，当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋4。【提分秘籍】与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题。(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题。(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。【举一反三】设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6B．25C．26D．36解析：因为圆(x－2)2＋y2＝1的圆心坐标为(2,0)，该圆心到点(5，－4)的距离为＝5，所以圆(x－2)2＋y2＝1上的点到(5，－4)距离的最大值为6，即(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为36。答案：D热点题型三与圆有关的轨迹问题例3．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为。因为平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，从而N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4。因此所求P点的轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：和(点P在OM所在的直线上时的情况)。【提分秘籍】求与圆有关的轨迹问题的四种方法【举一反三】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点。(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程。解析：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)。 P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)...