2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．B．1C．2D．4解析：圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心(3,0)到抛物线准线x＝－的距离为4，∴＝1，∴p＝2，故选C.答案：C2．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝()A．2B．2C．4D．2解析：利用抛物线的定义求解．由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则M到焦点的距离为xM＋＝2＋＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴y＝4×2，∴y0＝±2，∴|OM|＝＝＝2.答案：B3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4B．8C．8D．16解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－，可知∠PAF＝60°，△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.答案：B4．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点的距离的关系是()A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列解析：设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－＋|P3F|－＝2，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．设点F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点．若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.解析：设点A坐标为(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，1抛物线的焦点为(1,0)，∵FA＋FB＋FC＝0，∴x1＋x2＋x3－3＝0.|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝3＋×2＝6.答案：66．如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________．解析：如图所示，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连接MF′，2c＝p，MF′＋MF＝p＋p＝2a，所以e＝＝＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解析：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知M.∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，∵|AM|＝，∴x＋2＝17，∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.8．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA·AF＝－4，求点A的坐标．解析：由y2＝4x，知F(1,0)．∵点A在y2＝4x上，2∴不妨设A，则OA＝，AF＝.代入OA·AF＝－4中，得＋y(－y)＝－4，化简得y4＋12y2－64＝0.∴y2＝4或－16(舍去)，y＝±2.∴点A的坐标为(1,2)或(1，－2)．9．(10分)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．解析：(1)抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.∵点P到准线x＝－1的距离等于P到点F(1,0)的距离．∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A(－1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小．显然P是A，F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝.(2)同理|PF|与点P到准线的距离相等，如图：过点B作BQ⊥准线于点Q，交抛物线于点P1.∵|P1Q|＝|P1F|，∴|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.∴|PB|＋|PF|的最小值为4.3
