“复数的四则运算”学习指南一、知识要点1、复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：设12,zabizcdi=+=+，（,,,abcdRÎ以下不再说明）加减法：()()()()abicdiacbdi+±+=±+±乘法：()()()()abicdiacbdadbci++=-++除法：abicdi+=+2222()()()()abicdiacbdbcadicdcd+-++-=++重要等式：①22zzzz×==②若z为虚数，则22zz¹2、复数的加法、乘法运算满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律。实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中，即mnmnzzz+×=；()mnmnzz=；1212(),(,*)nnnzzzzmnN×=×Î3、加、减法的几何意义（了解）复数加法可以按向量的平行四边形法则进行。复数12zz-与连接两向量终点并指向被减数的向量对应。两点间距离公式12dzz=-是建立解析几何体系的重要公式，是求曲线方程的重要依据，因此用复数形式的两点间距离公式表示曲线方程十分简明。二、学法建议1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。2、了解复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可对照学习，温故而知新。3、要熟练掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。4、在化简求值运算中,如能合理的运用i和w的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用：（1）2(1)2ii±=±；（2）11,11iiiiii+-==--+（3）当1322iw=-+时，23121,1,,0(*)nnnnNwwwwwwww++===++=Î；用心爱心专心（4）1230(*)nnnniiiinN++++++=Î5、性质：22zzzz×==是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。三、例题分析例1已知1zi=+，（1）设234zzw=+-，求w；（2）如果2211zazbizz++=--+，求实数a，b的值。分析：（1）采用代入法求w。（2）代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解。解：（1）1,zi=+2234(1)3(1)41zziiiw\=+-=+++-=--（2）由2211zazbizz++=--+,把1zi=+代入得22(1)(1)1,(1)(1)1iaibiii++++=-+-++即()(2)1abaiii+++=-()(2)(1)1abaiiii\+++=-=+211aabì+=ïï\íï+=ïî解得12abì=-ïïíï=ïî评注：通过复数相等的定义，把虚数问题转化成实数问题，是复数重要的数学思想，代入化简时，要注意复数的运算技巧。例2计算1996232()1123iii-++-+分析：本题若按复数除法和乘法方法则直接计算，则显得十分繁琐，若能结合题目特点，联想结论（1±i）2=±i和w的性质，并注意到23i-+=(123),ii+不难找出简捷解法。解：原式2998(123)2[()]1123iii-+=+-+9989982()2iiii=+=+-4249221iiiii´+=+=+=-+评注：代数形式的复数运算，基本思路是应用法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用的i幂的性质，1的立方虚根w的性质及1±i的幂的性质等，将可有效地简化运算，提高速度。用心爱心专心例3已知动点P在复平面上的复数为333zti=++，其中t是使33tt+-为纯虚数的复数，求点P的轨迹方程。分析：求出复数t，以33tt+-为纯虚数为解决问题的突破口，注意可用性质及定义求解。解法1：33tt+-为纯虚数2(3)(3)(3)(3)(3)(3)3ttttttt+-+-\=---为纯虚数(3)(3)tt\+-为纯虚数即(3)(3)(3)(3)0tttt+-++-=所以有(3)(3)(3)(3)0tttt+-++-=即29,9ttt×==由333zti=++，得333tzi=--代入得23339zi--=P\的轨迹方程为3333zi--=解法2：设t=x1+y1i（x1，y1∈R）则2211111111122221111113(3)(3)96333(3)(3)xyixyixyixyyittxyixyxy++++--+--+===--+-+-+为纯虚数得22119,xy+=设(,)zxyixyR=+Î则11333333tzixyixyii，=--+=+--11333xxyyì=-ïïíï=-ïî代入22119xy+=，得2(3)(33)9xy-+-=评注：z=a+bi(a,bR)Î为纯虚数必然有0a=且0,b¹或0zz+=（反之不成立）要注意解法2更具有一般性，这是解复数问题得通法。用心爱心专心
