升级增分训练三角函数与平面向量1．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB中，|OA|＝|OB|＝2，且|OA＋OB|≥|AB|，那么OA·OB的取值范围是()A．[－2,4)B．(－2,4)C．(－4,2)D．(－4,2]解析：选A依题意，(OA＋OB)2≥(OB－OA)2，化简得OA·OB≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边，可得|OA|－|OB|＜|AB|＝|OB－OA|，两边平方可得(|OA|－|OB|)2＜(OB－OA)2，化简可得OA·OB＜4，∴－2≤OA·OB＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1,2AO＝AB＋AC且|OA|＝|AB|，则向量BA在BC方向上的投影为()A．B．C．－D．－解析：选A由2AO＝AB＋AC可知O是BC的中点，即BC为△ABC外接圆的直径，所以|OA|＝|OB|＝|OC|，由题意知|OA|＝|AB|＝1，故△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°．所以向量BA在BC方向上的投影为|BA|·cos∠ABC＝1×cos60°＝．故选A．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A．[－，1]B．[－1，]C．[－1,1]D．[1，]解析：选C sinαcosβ－cosαsinβ＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝，又则≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin， ≤α≤π，∴≤α＋≤，∴－1≤sin≤1，即所求取值范围为[－1,1]．故选C．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是()A．1B．C．2D．2解析：选D 向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，∴|c－(a＋b)|＝|a－b|≥|c|－|a＋b|，∴|c|≤|a＋b|＋|a－b|≤＝＝2．当且仅当|a＋b|＝|a－b|，即a⊥b时，(|a＋b|＋|a－b|)max＝2．∴|c|≤2．∴|c|的最大值为2．5．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝sin2＋sinωx－(ω＞0)，x∈R．若f(x)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是()A．B．∪C．D．∪解析：选Df(x)＝＋sinωx－＝(sinωx－cosωx)＝sin．因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，所以＞2π－π，即＞π，所以0＜ω＜1．当x∈(π，2π)时，ωx－∈，若函数f(x)在区间(π，2π)内有零点，则ωπ－＜kπ＜2ωπ－(k∈Z)，即＋＜ω＜k＋(k∈Z)．当k＝0时，＜ω＜；当k＝1时，＜ω＜．所以函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点时，0＜ω≤或≤ω≤．6．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解析：选B由题意得则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝或φ＝－．若ω＝11，则φ＝－，此时f(x)＝sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若ω＝9，则φ＝，此时f(x)＝sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B．7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a2＋c2＝ac＋b2，b＝，且a≥c，则2a－c的最小值是________．解析：由a2＋c2－b2＝2accosB＝ac，所以cosB＝，则B＝60°，又a≥c，则A≥C＝120°－A，所以60°≤A＜120°，＝＝＝＝2，则2a－c＝4sinA－2sinC＝4sinA－2sin(120°－A)＝2sin(A－30°)，当A＝60°时，2a－c取得最小值．答案：8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－bcosA＝c，当tan(A－B)取最大值时，角B的值为______．解析：由acosB－bcosA＝c及正弦定理，得sinAcosB－sinBcosA＝sinC＝sin(A＋B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)，整理得sinAcosB＝3cosAsinB，即tanA＝3tanB，易得tanA＞0，tanB＞0，∴tan(A－B)＝＝＝≤＝，当且仅当＝3tanB，即tanB＝时，tan(A－B)取得最大值，此时B＝．答案：9．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2．若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．解析：由于e是任意单位向量，可设e＝，则|a·e|＋|b·e|＝＋≥＝＝|a＋b|． |a·e|＋|b·e|≤，∴|a＋b|≤，∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6． |a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，∴a·b≤，∴a·b的最大值为．答案：10．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)．(1)若α∈[0...
