高二数学导数在研究函数中的应用课标要求：1．导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。2．生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。要点精讲1．单调性对于函数y=f(x)：如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么f(x)为该区间上的减函数．注意：（1）如果函数y＝f（x）在某个区间上是递增的，则在这个区间；如果函数y＝f（x）在某个区间上是递减的，则在这个区间上，。（2）函数的单调区间一般指开区间。2．极值极值是函数在一个小的区间的局部性质；函数的极大（小）值可能不止一个；某些极大值有时候可能比一些极小值还小。注意：（1）不要将极大（极小）值与最大（最小）值混为一谈，要懂得它们的区别和联系。（2）不要将极值点与驻点混为一谈，可导函数的极值点是驻点；而可导函数的驻点仅是可疑极值点。3．最大值与最小值最值是函数的整体性质。(1)求连续函数f(x)在闭区间[a,b]上最大（小）值的一般步骤是：①求出f(x)在(a,b)内的全部的驻点与不可导点x1,x2,。。。xn,;②计算出函数值f(x1),f(x2),…f(xn);以及f(a)与f(b);③比较上述值的大小.用心爱心专心(2)有关最大（小）值的应用问题，其关键是建立目标函数。该函数的实际意义下的定义域称为约束集或可行域。若f(x)在约束集内的驻点唯一，又根据问题的实际意义知f(x)的最大（小）值存在，则该驻点即为最大（小）值点，不必另行判定。典例解析1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对x∈〔－1，2〕，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围。解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f＇（x）＝3x2＋2ax＋b由f＇（）＝，f＇（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2f＇（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：x（－∞，－）－（－，1）1（1，＋∞）f＇（x）＋0－0＋f（x）↓极大值↑极小值↓所以函数f（x）的递增区间是（－∞，－）与（1，＋∞），递减区间是（－，1）（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x∈〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）＜c2（x∈〔－1，2〕）恒成立，只需c2＞f（2）＝2＋c，解得c＜－1或c＞22．设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用表示a，b，c；用心爱心专心（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.解析：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得因此故，，（II）法一：.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为法二：因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，用心爱心专心所以即,解得所以的取值范围为3．已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解析：（I）是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得（II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，用心爱心专心而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。4．如图所示，曲线段OMB：在点（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA轴于A，(I)试用t表示切线PQ的方程；(II)求QAP的面积g（t）的最大值.同时指出g（t）在（m，n）上单调递减时的最小值。解析：（I）K==...
