第3讲导数的热点问题「考情研析」利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用.核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路：①将问题转化为函数□零点的个数问题，进而转化为函数图象□交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的□单调性、□极值(最值)、□端点值等；③画出函数的□大致图象；④结合图象□求解．(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程□相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的□单调性；③判断该函数在该区间端点处的□函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的□单调性、□极值和□最值，再由□单调性或最值来证明不等式，其中构造一个□可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究考向1利用导数讨论方程根的个数例1(2019·河南五校联考高三阶段性测试)已知函数f(x)＝ax－，a∈R.(1)当a＝1时，求f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝xf(x)－4，讨论函数g(x)的零点个数．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－，所以f′(x)＝1－，所以f′(e)＝1.又因为f(e)＝e－.所以函数f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程为y－＝x－e，即x－y－＝0.(2)由题意得g(x)＝xf(x)－4＝ax2－2lnx－4，定义域为(0，＋∞)，则g′(x)＝2ax－＝.①当a≤0时，g′(x)<0对于任意的x>0恒成立，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，令x0＝e，则0
a－2lnx0－4＝0.又g(1)＝a－4<0，所以g(x)在(e，1)上有唯一零点．②当a>0时，令g′(x)>0，得x>.所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，故g(x)min＝g＝2ln－3＝lna－3.a．若a>e3，g(x)min>0，函数g(x)无零点；b．若a＝e3，g(x)min＝0，函数g(x)有唯一零点；c．若0－2lnx1－4＝0.令x2＝2＋>2＝>，则g(x2)＝ax－2lnx2－4>ax－2x2－4>ax－4a－2x2－4＝(x2＋2)[a(x2－2)－2]＝0.所以函数g(x)在，上各有一个零点，从而函数g(x)有两个零点．综上可得，当a>e3时，函数g(x)没有零点；当a≤0或a＝e3时，函数g(x)有唯一零点；当00时，求函数f(x)在区间(1，e2)内的零点个数．解(1) f(x)＝2alnx－x2，∴f′(x)＝， x>0，当a≤0时，f′(x)＝<0，当a>0时，f′(x)＝＝，当00；当x>时，f′(x)<0，∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．(2)由(1)，得f(x)max＝f()＝a(lna－1)，当a(lna－1)<0，即00，即a>e时，由于f(1)＝－1<0，f()＝a(lna－1)>0，f(e2)＝2alne2－e4＝4a－e4＝(2－e2)(2＋e2)，若2－e2<0，即e，f(e2)≥0，且f()＝2aln－e＝a－e>0，f(1)＝－1<0，由函数的单调性可知f(x)在(1，)内有唯一的零点，在(，e2)内没有零点，从而f(x)在(1，e2)内只有一个零点．综上所述，当a∈(0，e)时，函数f(x)在(1，e2)内无零点；当a∈{e}∪时，函数f(x)在(1，e2)内有一个零点；当a∈时，函数f(x)在(1，e2)内有两个零点．考向2利用导数证明不等式例2(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)已知函数f(x)＝－ax＋alnx，其中a>0.(1)若...
