距离问题一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任意两点．令向量，则．，．，．．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）．例1如图2，在正方体中，为的中点．求异面直线和间的距离？解析：设正方体棱长为2，以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离例2如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．用心爱心专心1分析：，．例3如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点是平面的距离为，则．三、求直线到平面的距离例4如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面为且与平行．求与平面间的距离？解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，．设是平面的一个法向量，则．即．直线与平面间的距离．四、求两平行平面间的距离例5如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．用心爱心专心2解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行．设平面的一个法向量，则，即．平面与平面间的距离．用心爱心专心3
