第6讲空间向量及其运算[基础题组练]1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示MN，则MN等于()A.(b＋c－a)B.(a＋b＋c)C.(a－b＋c)D.(c－a－b)解析：选D.MN＝MA＋AO＋ON＝(c－a－b)．2．已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝()A．9B．－9C．－3D．3解析：选B.由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，所以解得λ＝－9.3．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝()A．－1B．0C．1D．不确定解析：选B.如图，令AB＝a，AC＝b，AD＝c，则AB·CD＋AC·DB＋AD·BC＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.4.如图，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A.B．C．1D．解析：选D.因为BD＝BF＋FE＋ED，所以|BD|2＝|BF|2＋|FE|2＋|ED|2＋2BF·FE＋2FE·ED1＋2BF·ED＝1＋1＋1－＝3－，所以|BD|＝.5．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，OA＋λOB与OB的夹角为120°，则λ的值为()A．±B．C．－D．±解析：选C.OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，cos120°＝＝－，得λ＝±.经检验λ＝不合题意，舍去，所以λ＝－.6.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用AB，AD，AA1表示OC1，则OC1＝________．解析：因为OC＝AC＝(AB＋AD)，所以OC1＝OC＋CC1＝(AB＋AD)＋AA1＝AB＋AD＋AA1.答案：AB＋AD＋AA17.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________．解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，所以PD＝＝，所以MN＝.答案：8.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．解析：设OA＝a，OB＝b，OC＝c，由已知条件得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，所以OA⊥BC，所以cos〈OA，BC〉＝0.答案：09.如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1綊BC，二面2角A1ABC是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C.证明：因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，所以AA1⊥平面BAC.又因为AB＝AC，BC＝AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA1两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)．(1)A1B1＝(0，2，0)，A1A＝(0，0，－2)，AC＝(2，0，0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，则n＝(0，1，0)．所以A1B1＝2n，即A1B1∥n.所以A1B1⊥平面AA1C.(2)易知AB1＝(0，2，2)，A1C1＝(1，1，0)，A1C＝(2，0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1，1)．所以AB1·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，所以AB1⊥m，又AB1⊆平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.10.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，3PA＝AB＝1，BC＝2.求证：(1)EF∥平面PAB；(2)平面PAD⊥平面PDC.证明：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，所以E，F，EF＝，PB＝(1，0，－1)，PD＝(0，2，－1)，AP＝(0，0，1)，AD＝(0，2，0)，DC＝(1，0，0)，AB＝(1，0，0)．(1)因为EF＝－AB，所以EF∥AB，即EF∥AB.又AB平面PAB，EF⊆平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为AP·DC＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，所以AP⊥DC，AD⊥DC，即AP⊥DC，AD⊥DC.又AP∩AD＝A，所以DC⊥平面PAD.所以平面PAD⊥平面PDC.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当x...
