高中数学 轨迹方程问题汇总（详细解析）新人教A版VIP免费

轨迹方程问题汇总11.已知点M(－3，0)、N(3，0)、B(1，0)，⊙O与MN相切于点B，过M、N与⊙O相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为__________.解析:如图，|PM|－|PN|=|PA|+|AM|－|PC|－|CN|=|MA|－|NC|=|MB|－|NB|=4－2=2.ABCPMNO∴P点的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支,c=3,a=1,b2=8.∴方程为12x－82y=1(x>1).答案:x2－82y=1(x>1)12.点M到一个定点F(0，2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2，则M点的轨迹方程是__________.解析:根据椭圆第二定义可知，椭圆焦点为(0，2)，y=ca2=8,e=21.由c=2,ca2=8,得a=4,满足e=ac=42=21.∴椭圆方程为162y+122x=1.答案:162y+122x=116.(本小题满分10分)设F1、F2是双曲线x2－y2=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.解:如图,F1(－22，0)、F2(22，0)、M(x,y)，PNMFF12xyO延长F1M与PF2相交于点N，设N(x0,y0).由已知可得M为F1N的中点,∴.22,2222220000yyyyxxxx用心爱心专心1又|NF2|=|PN|－|PF2|=|PF1|－|PF2|=2a=4,∴(x0－22)2+y02=16.∴(2x+22－22)2+(2y)2=16.∴x2+y2=4.评注:适当运用平面几何知识把条件进行转化，会给我们解题带来方便.17.(本小题满分12分)如图，某农场在P处有一堆肥，今要把这堆肥料沿道路PA或PB送到庄稼地ABCD中去，已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°.能否在田地ABCD中确定一条界线，使位于界线一侧的点，沿道路PA送肥较近；而另一侧的点，沿道路PB送肥较近?如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出其方程.ABCDP解:设M是这种界线上的点，则必有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,即|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50.∴这种界线是以A、B为焦点的双曲线靠近B点的一支.建立以AB为x轴，AB中点O为原点的直角坐标系，则曲线为22ax－22by=1,其中a=25,c=21|AB|.∴c=257,b2=c2－a2=3750.∴所求曲线方程为6252x－37502y=1(x≥25,y≥0).18.(本小题满分12分)已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=22d,32≤d≤23.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若PF·OF=31，求向量OP与OF的夹角.解:(1)根据椭圆的第二定义知，点P的轨迹为椭圆.由条件知c=1,ca2=2,∴a=2.e=ac=21=22满足|PF|=22d.∴P点的轨迹为22x+12y=1.用心爱心专心2又d=ca2－x,且32≤d≤23,∴32≤2－x≤23.∴21≤x≤34.∴轨迹方程为22x+y2=1(21≤x≤34).(2)由(1)可知，P点的轨迹方程为22x+y2=1(21≤x≤34),∴F(1,0)、P(x0,y0).OF=(1,0),OP=(x0,y0),PF=(1－x0,－y0). PF·OF=31,∴1－x0=31.∴x0=32,y0=±37.又OP·OF=|OP|·|OF|·cosθ,∴1·x0+0·y0=2020yx·1·cosθ.∴cosθ=20200yxx=979432=112=11112.∴θ=arccos11112.1．【苍山诚信中学·文科】21．（本小题满分12分）如图所示，已知圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足NAMNPAPAM点,0,2的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.【解】（1）.0,2AMNPAPAMNP∴为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分又.222||||,22||||ANCNNMCN∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a焦距2c=2..1,1,22bca……………5分用心爱心专心3∴曲线E的方程为.1222yx………………6分（2）直线l的斜率.145tank∴直线l的方程为.1xy…………………………8分由.043121222xxyyxxy得消去………………10分设0,34),,(),,(21212211xxxxyxQyxH则，.234)34(24)(1||1||2212212212xxxxkxxkHQ12分2．【09届苍山·文科】22．（本小题满分12分）设椭圆)0(1:2222babyaxC过点21,),23,1(FF分别为椭圆C的左、右两个焦点，且离心率21e（1）求椭圆C的方程；（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M、N两点。若AM、AN的斜率21,kk满足,2121kk求直线l的方程；【解】（1）由题意椭圆的离心率,21e∴21ac∴ca2∴22223ccab∴椭圆方程为1342222cycx………………3分又点（1，23）在椭...