课时作业(三)空间向量的坐标与空间直角坐标系一、选择题1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1B．1C．0D．－22．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()A．－6B．2C．6D．83．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝()A．2B．－2C．－2或D．2或－4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二、填空题5．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·z＝－18的向量z＝________.6．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．7．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是________．三、解答题8．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．9．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF与CG所成角的余弦值；(3)求|CE|的长．[尖子生题库]10.如图所示，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝.(1)求证：SC⊥BC；(2)求SC与AB所成角的余弦值．1课时作业(三)空间向量的坐标与空间直角坐标系1．解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.答案：A2．解析：a⊥b⇒(1,5，－2)·(m,2，m＋2)＝0⇒m＋10－2m－4＝0⇒m＝6.答案：C3．解析：由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝.答案：C4．解析：AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2.∴△ABC为直角三角形．答案：C5．解析：∵z与a共线，设z＝(2λ，－λ，2λ)．又a·z＝4λ＋λ＋4λ＝－18，∴λ＝－2.∴z＝(－4,2，－4)．答案：(－4,2，－4)6．解析：由于AB＝(－2，－1,3)，CA＝(－1,3，－2)，所以AB·CA＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)＝－7，|AB|＝，|CA|＝，所以cosθ＝cos〈AB，CA〉＝＝－，则θ＝120°.答案：120°7．解析：设点P(x，y，z)，则由AP＝2PB，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，则解得即P(－1,3,3)，则|PD|＝＝＝2.答案：28．解析：(1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，所以所以(2)向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±·(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)，即和.9．解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G，∴EF＝，CF＝，CG＝，CE＝.(1)证明：∵EF·CF＝×＋×＋×0＝0，∴EF⊥CF，即EF⊥CF.(2)∵EF·CG＝×1＋×0＋×＝，|EF|＝＝2|CG|＝＝，∴cos〈EF，CG〉＝＝＝.(3)|CE|＝＝.10．解析：(1)因为∠SAB＝∠SAC＝90°，所以SA⊥AB，SA⊥AC且AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，如图所示，取A为坐标原点，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由AC＝2，BC＝，SB＝，得C(0,2,0)，B(－，2,0)，S(0,0,2)．所以SC＝(0,2，－2)，BC＝(，0,0)．因为SC·BC＝0，所以SC⊥BC.(2)设SC与AB所成的角为θ，因为AB＝(－，2,0)，所以SC·AB＝4，又|SC||AB|＝4×＝4，所以cosθ＝＝.3
