第3讲圆的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．解析AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案x2＋y2＝22．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．解析方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.答案3．(2015·苏州质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0
0，即>，所以原点在圆外．答案在圆外4．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案x2＋(y－2)2＝15．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为________．解析圆x2＋y2－2x－4y＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，则圆心(1,2)到直线x－y＋a＝0的距离为＝，解得a＝0或2.答案0或26．(2015·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案(x－2)2＋(y＋1)2＝17．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝08．(2015·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去1半径，即－＝.答案二、解答题9．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．解因为圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－＝－6，其方程为y＋1＝－6(x－4)，即6x＋y－23＝0.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y－＝－，即5x＋7y－50＝0上，由解得圆心为(3,5)，所以半径为＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－5)2＝37.能力提升题组(建议用时：25分钟)1．(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线AB的方程为________．解析依题意，该圆的圆心为C(0,1)，直线CP的斜率是1，且P是线段AB的中点，CP⊥AB，因此直线AB的斜率是－1，直线AB的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案x＋y－3＝02．已知圆C的圆心在曲线y＝上，圆C过坐标原点O，且分别与x轴、y轴交于A，B两点，则△OAB的面积等于________．解析设圆心的坐标是.∵圆C过坐标原点，∴OC2＝t2＋，∴圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋.令x＝0，得y1＝0，y2＝，∴B点的坐标为；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴A点的坐标为(2t,0)，∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB的面积为4.答案43．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析据题意圆x2＋(y－1)2＝1上所有的点都在直线x＋y＋m＝0的右上方，所以有解得m≥－1.故m的取值范围是[－1，＋∞)．答案[－1，＋∞)4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.2由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)，由已知得＝.又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得由得此时，圆P的半径r＝.由得此时，圆P的半径r＝.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.3
