1.1椭圆及其标准方程1.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),命题乙:P点的轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若P点的轨迹是椭圆,则一定有|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件.反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点的轨迹是椭圆的.这是因为:仅当2a>|AB|时,P点的轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点的轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹.∴甲不是乙的充分条件.综上,甲是乙的必要不充分条件.故选B.答案:B2.线段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中点,当P点在同一平面内运动时,|PM|的最小值是()A.2B.C.D.5解析:由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为原点,A、B为焦点的椭圆,且a=3,c=2,∴b=.于是|PM|的最小值是b=.答案:C3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(,-),则椭圆的标准方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:因为椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为=1(a>b>0).由已知得c=4,又c2=a2-b2,故a2=16+b2.①因为点(,-)在椭圆上,所以=1,即=1.②将①代入②,解得b2=4(b2=-12舍去),a2=20.所以所求椭圆的方程为=1.答案:A4.焦点在坐标轴上,且经过A(,-2)和B(-2,1)两点的椭圆的标准方程是()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:(方法1)(1)当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.(2)当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).依题意,有解得因为a0,n>0,且m≠n).依题意,有解得所以所求椭圆的方程为=1.答案:D5.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=()A.3B.9C.D.12解析:由题意,得解得a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.答案:A6.已知F1,F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=()1A.12B.8C.25D.9解析:如图所示,由椭圆定义得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20,又|AF2|+|BF2|=12,所以|AF1|+|BF1|=8,即|AB|=8.答案:B7.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为.解析:椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆的方程为=1(λ>0).把x=2,y=-3代入,得=1,解得λ=10或λ=-2(舍去).∴所求椭圆的方程为=1.答案:=18.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析:如图所示, |PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=6-|PF1|=2.在△F1PF2中,cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.答案:2120°9.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析:设动圆M和定圆B内切于点C,动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且8>|AB|=6,所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,并且2a=8,2c=6,所以b=.所以椭圆的方程是=1.答案:=110.在△ABC中,已知点B(-6,0),C(0,8),且sinB,sinA,sinC成等差数列.(1)求证:顶点A在一个椭圆上运动;(2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距.(1)证明:由题意,得sinB+sinC=2sinA,由正弦定理,得sinB=,sinC=,sinA=,所以有b+c=2a,即|AC|+|AB|=2|BC|(大于|BC|).所以顶点A到定点B,C的距离的和是常数(大于|BC|),即顶点A在一个椭圆上运动.(2)解:这个椭圆的焦点坐标分别是(-6,0),(0,8),焦距是10.11.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0).解:(1)由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为=1(a>b>0).∴2a==10.∴a=5.又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.故所求椭圆的方程为=1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上,2∴设它的标准方程为=1(a>b>0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴解得故所求椭圆的方程为+x2=1.12.如图所示,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.解:由已知,得a=2,b=,所以c==1.所以|F1F2|=2c=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120°,即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.①由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,即|PF2|=4-|PF1|.②②代入...
