第6讲函数的单调性1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(D)A．y＝B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；选项B中，y＝cosx在(－1,1)上先增后减；选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝()x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．2．已知f(x)是R上的减函数，则满足f(||)1，所以0<|x|<1，所以x∈(－1,0)∪(0,1)．3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(D)A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．因为f(1)＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，所以－1≤x－2≤1，所以1≤x≤3.4．(2018·枣庄期中)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(C)A．(0,1)B．(0，)C．[，)D．[，1)因为f(x)＝logax(x≥1)是减函数，所以0＜a<1，且f(1)＝0.因为f(x)＝(3a－1)x＋4a(x<1)为减函数，所以3a－1<0，所以a<，又因为f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f(x)在(－∞，1]上的最小值大于或等于f(x)在[1,＋∞)上的最大值．所以(3a－1)×1＋4a≥0，所以a≥，所以a∈[，)．5．函数f(x)＝log2(4x－x2)的单调递减区间是[2,4).因为4x－x2>0，所以0f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx满足条件f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，但f(x)在[0，2]上不一直都是增函数．7．讨论函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．(方法1：利用单调性的定义)设x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，(x1＋2)(x2＋2)>0，所以当a<时，f(x1)>f(x2)，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>时，f(x1)时，f′(x)>0，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数；当a<时，f′(x)<0，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．8．(2018·河北石家庄月考)如果函数f(x)在区间I上是增函数，而函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为(D)A．[1，＋∞)B．[0，]C．[0,1]D．[1，]因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋.(方法1：利用“双勾函数”)因为x＝时，即x＝时，取到最小值，所以在[1，]单调递减，即[1，]为“缓增区间”．(方法2：利用导数)令g(x)＝x－1＋(x≥1)，g′(x)＝－＝，由g′(x)≤0，得1≤x≤.即函数在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”为[1，]．9．(2017·山东卷)若函数exf(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为①④.①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.设g(x)＝exf(x)．对于①，g(x)＝ex·2－x＝()x为增函数，故①中f(x)具有M性质．对于②，g(x)＝ex·3－x＝()x单调递减，故②中f(x)不具有M性质．对于③，g(x)＝ex·x3(x∈R)，g′(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝(x＋3)·ex·x2，当x＜－3时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，故③中f(x)不具有M性质．对于④，g(x)＝ex·(x2＋2)(x∈R)，g′(x)＝ex·(x2＋2)＋ex·2x＝(x2＋2x＋2)·ex＝[(x＋1)2＋1]·ex＞0，所以函数g(x)...
