高二数学的三个专题讲座人教实验版选修2－2【本讲教育信息】一.教学内容：选修2－2的三个专题讲座［知识分析］专题一导数中几个常见易错点导数是高考考查的重点内容之一，同学们在解题时往往由于概念不清，方法不当而出错，下面我们对常见错误及原因进行分析。一.错误理解导数定义例1设在处可导，则等于（）A.B.C.D.错解：选（C）．分析：导数定义中，增量形式有多种，但不论选择哪种形式，相应的也应选择正确的形式。该例中函数值增量为，自变量增量应为，而不是h。故正解：故选（A）。二.忽视导数几何意义的条件例2已知曲线上的一点，求过点P的该曲线的切线方程。错解：，，即过点P的切线的斜率为4。所以过点P的切线方程为。即。分析：此解法混淆了“在点P处的切线”与“过点P的切线”，本例中的点P可能是切点，也可能不是切点。用心爱心专心正解：设切点为（），则切线的斜率。故切线方程为。又切线过点P且（）在曲线上，所以整理得：。解得：或。当时，，切线斜率为4，切线方程为；当时，，切线斜率为1，切线方程为。三.对可导函数某一点处的导数认识不清例3已知，求。错解：由得：所以。分析：上述错解中未弄清可导函数某一点处的导数的概念。正解：由得：所以。四.复合函数求导时对复合过程的认识不到位例4求函数的导数。错解：分析：最后一步求导时漏掉了对x求导，错因是对复合函数的复合过程认识不到位。正解：用心爱心专心五.忽视函数单调性的充要条件例5已知函数在R上为减函数，求a的取值范围。错解：易求得。因为当时，为减函数，所以。故解得：。所以a的取值范围为（，0）。分析：可导函数在（a，b）内为单调递增（或减）函数的充要条件为：对于任意，有（或）且在（a，b）任意子区间内都不恒为零。正解：由上述分析易知a的取值范围是［，0］。专题二反证法的应用反证法是从否定要证明的结论出发，并以此为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理和给出命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定命题结论的否定不成立，即可肯定命题成立．反证法有着广泛的应用，是高中数学中重要的解题方法，它在解题时，常表现出独特的优势．因此，同学们应深刻认识并熟练掌握这一重要的解题方法．反证法是正难附反的数学思想的重要体现，一些数学问题若不容易入手解答或者解答比较麻烦，如果从问题的反面入手，换一个角度去思考，则有可能会很顺利地得到解决．一.反证法的理论依据由四种命题的相互关系可知，原命题“如果p，则q”与命题“如果非q，则非p”是一对逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一逻辑，要证原命题“如果p，则q”为真，可以改证逆否命题“如果非q，则非p”为真，这种证题方式反证法，也就是说，如果非q（即否定结论，假设结论的反面成立，经过推理论证），则非p（得出与题设条件相矛盾的结论），从而根据等价性原则，可以肯定原命题正确．二.反证法的证明步骤第一步：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；第二步：从这个假设出发，经过推理证明，得出矛盾；第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确。三.常见的否定形式P＝有是能∈＞＜P的否定≠没有不是不能≤≥我们归纳出几种常见的否定情形：用心爱心专心“p或q”与“非p且非q”互为否定，“一定是”与“不一定是”互为否定，“n个中至少有k个”与“n个中至多有个（）”互为否定四.反证法中探求矛盾的常见情形（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与已知的定义、定理、公理矛盾；（4）与现实生活中公认的事实矛盾；（5）自相矛盾．下面通过几个实例谈谈如何运用反证法证题，并希望同学们注意体会反证法证题的书写格式例1求证：三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°证明：因为在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，所以。若假设三个角都大于60°，即，，，则，与矛盾。故假设错误。因此，三角形的三个内角中，至少有一个内角不大于60°。例2已知p，q是奇数，求证：方程没有整数根。证明：假设方程有整数根，则。当为奇数时，，均为奇数。故为奇数，不可能为0。当为偶数时，，均为偶数。故为奇数，也不可能为0。因此假设错误，原命题成立。例3已知下列三个方程：...
