专题12数列的通项一、基础过关题1.若数列的前项和（，且），则此数列是()等差数列等比数列等差数列或等比数列既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C.【解析】：，当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C.2.数列中，，则数列的通项()【答案】【解析】：,使用迭乘法，得3.数列中，,且，则()【答案】4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项.【答案】【解析】：因为是首项为1的正项数列，所以采用累乘法可得5.数列中，，则的通项.【答案】6.数列中，，则的通项.【答案】【解析】：由，得，7．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a25.求数列{an}的通项公式；【答案】an＝35n．【解析】：设数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，∵d>0，∴a1＝d，①∵S5＝a25，∴5a1＋5×42·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝35，d＝35，∴an＝35＋(n－1)×35＝35n(n∈N*)．8.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝12(1－an)．求数列{an}的通项公式；【答案】an＝13n.9.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．【答案】(1)见解析(2)bn＝(12)n.(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴an＋1－1an－1＝12，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝12，∴c1＝－12，公比q＝12.又cn＝an－1，∴{cn}是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)【解析】由(1)可知cn＝(－12)·(12)n－1＝－(12)n，∴an＝cn＋1＝1－(12)n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－(12)n－[1－(12)n－1]＝(12)n－1－(12)n＝(12)n.又b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝(12)n.10.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{an＋23(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式．【答案】(1)a2＝0，a3＝2.(2)见解析11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an＋1＝n＋12nan，求数列{an}的通项公式.【答案】an＝n·(12)n.【解析】：∵a1＝12，an＋1＝n＋12nan，当n∈N*时，ann≠0.又a11＝12，an＋1n＋1∶ann＝12(n∈N*)为常数，∴{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列．得ann＝12·(12)n－1，∴an＝n·(12)n.二、能力提高题1．已知f(x)＝x2x＋1，数列{an}满足an＝f(an－1)(n＞1，n∈N*)，且f(2)＝a1，则数列{an}的通项公式an＝________.【答案】24n＋12．已知数列{an}的前n项和Sn满足(p－1)Sn＝p2－an(p>0，p≠1)，且a3＝13.求数列{an}的通项公式；【答案】an＝32－n.【解析】：由题设知(p－1)a1＝p2－a1，解得p＝a1或p＝0(舍去)．由条件可知(p－1)S2＝(p－1)(a1＋a2)＝p2－a2，解得a2＝1.再由(p－1)S3＝(p－1)(a1＋a2＋a3)＝p2－a3，解得a3＝1p.由a3＝13可得1p＝13，故p＝3＝a1.所以2Sn＝9－an，则2Sn＋1＝9－an＋1，以上两式作差得2(Sn＋1－Sn)＝an－an＋1，即2an＋1＝an－an＋1，故an＋1＝13an.可见，数列{an}是首项为3，公比为13的等比数列．故an＝3(13)n－1＝32－n.3.数列中，，求数列的通项公式.【答案】【解析】：，，.数列是以2为公比的等比数列，其首项为4.已知数列中，，求数列的通项公式.【答案】
