高难拉分攻坚特训(八)1．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|0，所以a＝，令h(x)＝，则问题可转化为函数h(x)＝在x∈(1,3)上的图象与直线y＝a有交点．h′(x)＝＝，可知h(x)在(1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递减，又h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，所以当x∈(1,3)时，h(x)∈，故而a∈.故选B.2．等腰△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的中线，且BD＝3，则△ABC面积的最大值为________．答案6解析设AB＝AC＝2x，AD＝x，∠A＝θ，在△ABD中，cosθ＝＝，∴sinθ＝＝，∴S△ABC＝|AB||AC|sinθ＝·2x·2x·＝，∴当x2＝5时，S△ABC达到最大值6.3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N在椭圆C上，直线MN过坐标原点O，且|F1M|＋|F1N|＝4，椭圆的离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA·OB＝－，求m的值．解(1)由椭圆的对称性知，四边形F1MF2N为平行四边形，∵|F1M|＋|F1N|＝4，∴四边形F1MF2N的周长为8，由椭圆的定义知，4a＝8，∴a＝2，∵e＝，∴c＝1，则b＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知，圆O的方程为x2＋y2＝1，∵直线l：y＝kx＋m与圆O相切，∴＝1，即1＋k2＝m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得，(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2·＋km＋m2＝，∵1＋k2＝m2，∴y1y2＝＝，x1x2＝＝＝，则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＋＝－，即＝－，解得k2＝，∴m2＝1＋k2＝，则m＝±.4．已知函数f(x)＝，曲线y＝f(x)在点(e2，f(e2))处的切线与直线2x＋y＝0垂直．(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；(2)若存在x∈[e，＋∞)，使函数g(x)＝aelnx＋x2－lnx·f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．解(1)因为lnx≠0，x>0，所以x∈(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝，所以f′(e2)＝＝，得m＝2，所以f(x)＝，f′(x)＝，由f′(x)<0得0e，则g(x)在[e，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[e，＋∞)上的最小值g(x)min＝g(a)，又g(a)e，所以一定满足条件．综上，实数a的取值范围是.
