考点规范练21两角和与差的正弦、余弦与正切公式一、基础巩固1.cos160°sin10°-sin20°cos10°=()A.-❑√32B.❑√32C.-12D.12答案C解析cos160°sin10°-sin20°cos10°=-sin10°cos20°-sin20°cos10°=-sin(10°+20°)=-12.2.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边落在第二象限,A(x,y)是其终边上一点,向量m=(3,4),若m⊥⃗OA,则tan(α+π4)等于()A.7B.-17C.-7D.17答案D解析因为m⊥⃗OA,所以3x+4y=0,所以tanα=yx=-34,所以tan(α+π4)=1+tanα1-tanα=17.3.已知α∈(π,3π2),且cosα=-45,则tan(π4-α)等于()A.7B.17C.-17D.-7答案B解析因为α∈(π,3π2),且cosα=-45,所以sinα=-35,所以tanα=34.所以tan(π4-α)=1-tanα1+tanα=1-341+34=17.4.已知函数f(x)=❑√3sin2x-2cos2x,下面结论中错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)的图象关于直线x=π3对称C.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin2x-1的图象向右平移π6个单位得到D.函数f(x)在区间[0,π4]上是增函数答案C解析因为f(x)=❑√3sin2x-2cos2x=❑√3sin2x-cos2x-1=2sin(2x-π6)-1,所以选项C错误,故选C.5.已知cos(α-π6)+sinα=4❑√35,则sin(α+7π6)的值为()A.12B.❑√32C.-45D.-12答案C解析 cos(α-π6)+sinα=❑√32cosα+32sinα=4❑√35,∴12cosα+❑√32sinα=45.∴sin(α+7π6)=-sin(α+π6)=-(❑√32sinα+12cosα)=-45.6.已知3sin2θ=4tanθ,且θ≠kπ(k∈Z),则cos2θ等于()A.-13B.13C.-14D.14答案B解析 3sin2θ=4tanθ,∴6sinθcosθsin2θ+cos2θ=6tanθ1+tan2θ=4tanθ. θ≠kπ(k∈Z),tanθ≠0,∴31+tan2θ=2,解得tan2θ=12,∴cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ-sin2θcos2θ+sin2θ=1-tan2θ1+tan2θ=1-121+12=13.故选B.7.(2018全国Ⅱ,文15)已知tan(α-5π4)=15,则tanα=.答案32解析 tan(α-54π)=tanα-tan54π1+tanαtan54π=tanα-11+tanα=15,∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=32.8.函数f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6在区间[-π2,π2]上的单调递增区间为.答案[-5π12,π12]解析f(x)=sin2xsinπ6-cos2xcos5π6=sin2xsinπ6+cos2xcosπ6=cos(2x-π6).当2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z),即kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.取k=0,得-5π12≤x≤π12,故函数f(x)在区间[-π2,π2]上的单调递增区间为[-5π12,π12].9.(2018广东一模)已知sin10°+mcos10°=2cos140°,则m=.答案-❑√3解析由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,m=2cos140°-sin10°cos10°=-2cos40°-sin10°cos10°=-2cos(30°+10°)-sin10°cos10°=-❑√3cos10°cos10°=-❑√3.10.函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z解析f(x)=sin2x+sinxcosx+1=1-cos2x2+12sin2x+1=12(sin2x-cos2x)+32=❑√22sin(2x-π4)+32.故T=2π2=π.令2kπ+π2≤2x-π4≤2kπ+3π2,k∈Z,解得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ],k∈Z.11.已知α,β均为锐角,且sinα=35,tan(α-β)=-13.(1)求sin(α-β)的值;(2)求cosβ的值.解(1) α,β∈(0,π2),∴-π2<α-β<π2.又tan(α-β)=-13<0,∴-π2<α-β<0.∴sin(α-β)=-❑√1010.(2)由(1)可得,cos(α-β)=3❑√1010. α为锐角,且sinα=35,∴cosα=45.∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=45×3❑√1010+35×(-❑√1010)=9❑√1050.二、能力提升12.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=❑√22(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案D解析a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=❑√22(sin56°-cos56°)=❑√22sin56°-❑√22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=cos239°-sin239°cos239°cos239°+sin239°cos239°=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°. sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.13.12-cos2θ+12-sin2θ(θ∈R)的最小值为()A.43B.34C.23D.32答案A解析12-cos2θ+12-sin2θ=4-(sin2θ+cos2θ)4-2(sin2θ+cos2θ)+sin2θcos2θ=32+14sin22θ≥43,当且仅当θ=kπ2...
