【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证明第4节基本不等式及其应用模拟创新题理一、选择题1.(2016·四川资阳诊断)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，则a＋2b的最小值为()A.5＋2B.8C.5D.9解析 a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab，∴a＝＞0，解得b＞2.则a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，当且仅当b＝3，a＝3时取等号，其最小值为9.答案D2.(2016·辽宁师大附中模拟)函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为()A.2B.4C.8D.16解析 x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)， 点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1， m>0，n>0，＋＝＋＝2＋＋＋2≥4＋2·＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号.故选C.答案C3.(2014·北京模拟)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为()A.50B.25C.50D.100解析设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立.答案A二、填空题4.(2016·山东泰安模拟)若直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)经过点(1，2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是________.解析直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值即求a＋b的最小值.由直线l经过点(1，2)得＋＝1.于是a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×＝3＋＋，因为＋≥2＝2.所以a＋b≥3＋2.答案3＋2创新导向题与向量有关的条件不等式求最值问题5.已知向量a＝(m，1－n)，b＝(1，2)，其中m＞0，n＞0，若a∥b，则＋的最小值是()A.2B.3＋2C.4D.3＋解析 向量a＝(m，1－n)，b＝(1，2)，a∥b.∴2m－(1－n)＝0，即2m＋n＝1，又m＞0，n＞0，∴＋＝(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，即m＝1－，n＝－1时取等号.故＋的最小值为3＋2.故选B.答案B与函数有关的条件不等式求最值问题6.已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＝f(b)且a≠b，则＋的取值范围是________.解析根据题设，对于f(x)＝|log3x|，有x＞0，若f(a)＝f(b)，则|log3a|＝|log3b|，又由a≠b，则有log3a＝－log3b，即log3a＋log3b＝log3ab＝0，则ab＝1，又由a，b＞0且a≠b，∴＋＝b＋≥2，当且仅当b＝取等号，即＋的取值范围是[2，＋∞).答案[2，＋∞)专项提升测试模拟精选题一、选择题7.(2015·北京海淀二模)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(－∞，－1)B.(－∞，2－1)C.(－1，2－1)D.(－2－1，2－1)解析由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，∴k＋1<2，即k<2－1.答案B8.(2014·皖北四市联考)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为()A.4B.4C.8D.8解析 f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，∴a>0且Δ＝4－4ac＝0.∴c＝，∴＋＝＋＝＋≥4(当且仅当a＝1时取等号)，∴＋的最小值为4，故选A.答案A二、填空题9.(2014·山东临沂二模)已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是________.解析 x、a、b、y成等差数列，∴a＋b＝x＋y. x、c、d、y成等比数列，∴cd＝xy，则＝＝＋＋2≥4(x>0，y>0)，当且仅当＝时，取等号.故答案为4.答案4三、解答题10.(2014·江苏无锡调研题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低.解(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200＝800×(x＋)＋12000≥1600＋12000＝36000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立.即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低.(2)记g(x)＝x＋(0
