第二节直线与圆的位置关系1．(2013·韶关二模)如图所示，⊙O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则⊙O的半径等于________．第1题图第2题图解析：由射影定理知CD2＝BD·AD，所以AD＝2，所以圆的半径为AB＝＝5.答案：52．(2013·湖北卷)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB＝3AD，则的值为__________．解析：由射影定理知＝＝＝＝8.答案：83．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，圆O经过B，C且与AB，AC分别相交于D，E.若AE＝EC＝2，则圆O的半径R＝________．第3题图第4题图解析：连接BE，因为∠C＝90°，所以BE为圆O的直径．因为∠A＝30°，AC＝4，所以BC＝4.在Rt△BCE中，由勾股定理得BE＝2，所以圆O的半径R＝.答案：4．如图所示，已知圆O的直径AB＝，C为圆O上一点，且BC＝，过点B的圆O的切线交AC的延长线于点D，则DA＝________．解析：由题意知三角形ABC为直角三角形，由勾股定理，得AC＝2，又在直角三角形ABD中，∠ABD为直角，BC为斜边AD上的高，所以BC2＝AC·CD，所以CD＝1，所以DA＝AC＋CD＝3.答案：35．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________．1答案：26．如图，AB是圆O的直径，AD＝DE，AB＝8，BD＝6，则＝________．第6题图第7题图第8题图解析：因为AD＝DE，所以∠ABD＝∠DAE.又∠ADC为公共角，所以△ADC∽△BDA.所以＝＝＝.答案：7．如图所示，AB是圆O的直径，弦AD和BC相交于点P，连接CD.若∠APB＝120°，则等于________．解析：连接AC，依题意∠APC＝60°，因为AB是圆O的直径，所以∠ACP＝90°.所以cos∠APC＝＝.又△PAB∽△PCD，所以＝＝.答案：8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，直线MN切⊙O于点D，∠MDA＝45°，则∠DCB＝_________.解析：连接BD，根据弦切角等于所夹弧所对圆周角，可得∠DBA＝45°，又∠ADB＝90°，所以∠DAB＝45°，再由圆内接四边形对角互补得∠DCB＝135°.答案：135°9．如图，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，BE∥MN交AC于点E.若AB＝6，BC＝4，则AE的长为________．2第9题图第10题图解析：由题知，∠BCM＝∠BAC，∠BCM＝∠EBC，得∠BAC＝∠EBC.又∠ACB是公共角，所以△ABC∽△BEC，所以＝，又AB＝AC，AB＝6，BC＝4，所以EC＝＝，所以AE＝AC－EC＝6－＝.答案：10．如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过O，OB＝PB＝1，OA绕着点O逆时针旋转60°到OD，PD交圆O于点E，则PE的长为________．答案：11．(2013·陕西卷)如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2,则PE＝__________．第11题图第12题图解析：因为BC∥PE，所以∠BCD＝∠PED，且在圆中，由∠BCD＝∠BAD得∠PED＝∠BAD，所以△EPD∽△APE，于是＝，得PE2＝PA·PD＝3×2＝6，所以PE＝.答案：12．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝BC＝3，则AC的长为________．解析：由切割线定理得，DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.∵∠A＝∠BCD，∴＝，得AC＝＝.答案：13．(2013·天津卷)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．解析：设EB＝x，则ED＝x＋5，由切割线定理知x(x＋5)＝62，所以x＝4.因为AC∥ED，所以AB＝CD，又AB＝AC.所以∠2＝∠3＝∠4＝∠5，又∠1＝∠3，∠3＝∠6.所以∠1＝∠6，所以AE∥BC，即EBCA为平行四边形．所以AC＝EB＝4，BC＝6，由△AFC∽△DFB.所以＝.即＝，所以CF＝.3答案：14．如图，从圆O外一点P引圆O的割线PAB和PCD，PCD过圆心O，已知PA＝1，AB＝2，PO＝3，则圆O的半径等于________．解析：利用割线定理建立方程求解．设半径为r，则PC＝PO－OC＝3－r，PD＝PO＋OD＝3＋r，根据割线定理可得PA·PB＝PC·PD，即1×(1＋2)＝(3＋r)(3－r)，所以9－r2＝3，r2＝6，所以r＝.答案：4
