专题14导数的概念及运算本专题特别注意：1.在某点处的切线方程2.过某点的切线方程3.与切线有关的最值问题4.导数的物理意义5.导数与反函数综合6.导数的几何意义综合7.分段函数的导数几何意义问题【学习目标】1．了解导数概念的实际背景．2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导．【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率用________表示，且＝.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim＝lim.2．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f′(x)＝lim.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)上_____________________的斜率k，即k＝_______；切线方程为______________________．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的___________4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数点(x0，f(x0))处切线f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)瞬时速度01①(C)′＝________(C为常数);②(x)′＝________；③(x2)′＝________；④′＝________；⑤()′＝________．(2)初等函数的导数公式①(xn)′＝________；②(sinx)′＝__________；③(cosx)′＝________；④(ex)′＝________；⑤(ax)′＝___________；⑥(lnx)′＝________；⑦(logax)′＝__________．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝________________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_________________________；(3)′＝____________________________．6．复合函数的导数(1)对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这两个函数(函数y＝f(u)和u＝g(x))的复合函数为y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为___________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．一、单选题1．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，则（）A.B.C.D.【答案】D点睛:本题需要构造函数，一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构2xnxn-1cosx-sinxexaxlnaf′(x)±g′(x)f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)y′x＝y′u·u′x造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.2．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知函数是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据题意可得，从而得方程在区间内有两个不同的实数解，然后利用二次函数的性质求出的取值范围．详解： ，∴． 函数是上的"双中值函数"，∴存在，使得，∴方程在区间上有两个不同的解，令，则，解得．∴实数的取值范围是．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是解题时要以给出的定义、方法为基础，这是解题的关键；二是合理运用转化的方法，将问题转化为方程在给定区间上有两个不相等实根的问题，最后根据二次方程根的分布的有关知识解决．3．若函数在上可导，且满足，则一定有()A.函数在上为增函数B.函数在上为减函数C.函数在上为增函数D.函数在上为减函数【答案】A点睛：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，属于基础题，解答的关键是现得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性，本题的难点在于构造合适的函数，着重考查了分析问题和解答问题的能力．．4．设函数的导函数记为，若，则（）A.-1B.C.1D.3【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，借助于求导公式，求得，结合题中的条件，得到，利用同角三角函数关系式中的商关系，求得，得到结果.详解：根据题意，得，由，得，化简可得，即，故选D.点睛：该题涉及到的知识点有正余弦的求导公式，同角三角函数关系式，还有就是函数在某点处的...
