8.1.3向量数量积的坐标运算课后篇巩固提升基础巩固1.(多选)设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与m⊥n等价的为()①m·n=0;②x1x2=y1y2;③|m+n|=|m-n|;④|m+n|=❑√m2+n2.A.①B.②C.③D.④解析由公式知①正确,②错误;对③④两边平方,化简,得m·n=0,因此也是正确的,故选A,C,D.答案ACD2.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=❑√5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°解析设c=(x,y),则由(a+b)·c=52,得x+2y=-52.又cos
=a·c|a||c|=x+2y❑√5×❑√5=-12,即=120°.答案C3.已知向量a,b的夹角为π2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.2❑√3B.3C.❑√21D.❑√41解析 |a|=❑√22+(-1)2=❑√5,a·b=|a||b|cosπ2=0,∴|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=(❑√5)2+4×22=21,∴|a+2b|=❑√21.答案C4.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析 ⃗AB=(1,1),⃗AC=(-3,3),∴⃗AB·⃗AC=1×(-3)+1×3=0.∴⃗AB⊥⃗AC,∴A=90°,故选A.答案A5.设向量a与b的夹角为θ,a=(2,1),a+2b=(4,5),则cosθ=()A.❑√1010B.3❑√1010C.35D.45解析 a=(2,1),a+2b=(4,5),∴b=(1,2).cosθ=a·b|a||b|=4❑√5×❑√5=45.答案D6.(双空)已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=;|a+b|=.解析 a·b=2,∴x=2. a+b=(3,1),∴|a+b|=❑√10.答案2❑√107.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为.答案-178.已知平面向量a=(2,2),b=(x,-1),(1)若a∥b,求x;(2)若a⊥(a-2b),求a与b所成夹角的余弦值.解(1) a∥b,∴x1y2-x2y1=0,即-2-2x=0,可得x=-1.(2)依题意得a-2b=(2-2x,4), a⊥(a-2b),∴a·(a-2b)=0,即4-4x+8=0,解得x=3,∴b=(3,-1).设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a·b|a||b|=❑√55.9.设a=(1,2),b=(-2,-3),又c=2a+b,d=a+mb,若c与d的夹角为45°,求实数m的值.解 a=(1,2),b=(-2,-3),∴c=2a+b=2(1,2)+(-2,-3)=(0,1),d=a+mb=(1,2)+m(-2,-3)=(1-2m,2-3m),∴c·d=0×(1-2m)+1×(2-3m)=2-3m.又|c|=1,|d|=❑√(1-2m)2+(2-3m)2,c与d的夹角为45°,∴2-3m=1×❑√(1-2m)2+(2-3m)2cos45°,即❑√(1-2m)2+(2-3m)2=❑√2(2-3m),等价于{2-3m≥0,5m2-8m+3=0,解得m=35.能力提升1.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为()A.0B.-1C.2D.1解析因为f(x)=u·v=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=-1时,f(x)取得最小值2.答案B2.函数y=tan(π4x-π2)的部分图像如图所示,则(⃗OB−⃗OA)·⃗OB=()A.-4B.2C.-2D.4解析A(2,0),B(3,1),(⃗OB−⃗OA)·⃗OB=⃗OB2−⃗OA·⃗OB=10-6=4.答案D3.已知向量⃗OA=(2,2),⃗OB=(4,1),在x轴上有一点P,使⃗AP·⃗BP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)解析设点P的坐标为(x,0),则⃗AP=(x-2,-2),⃗BP=(x-4,-1).⃗AP·⃗BP=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,⃗AP·⃗BP有最小值1,此时点P的坐标为(3,0).故选C.答案C4.在矩形ABCD中,AB=❑√2,BC=2,E为BC的中点,点F在CD上,若⃗AB·⃗AF=❑√2,则⃗AE·⃗BF的值为()A.❑√2B.2C.0D.1解析建立如图所示的坐标系xAy,可得A(0,0),B(❑√2,0),E(❑√2,1),F(x,2),则⃗AB=(❑√2,0),⃗AF=(x,2),于是⃗AB·⃗AF=❑√2x=❑√2,解得x=1,因此F(1,2),⃗AE=(❑√2,1),⃗BF=(1-❑√2,2),⃗AE·⃗BF=❑√2(1-❑√2)+1×2=❑√2.故选A.答案A5.若将向量a=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b,则向量b的坐标为()A.(-❑√22,-3❑√22)B.(❑√22,3❑√22)C.(-3❑√22,❑√22)D.(3❑√22,-❑√22)解析设b=(x,y),由已知条件,知|a|=|b|,a·b=|a||b|cos45°.所以{x2+y2=5,2x+y=❑√5×❑√5×❑√22,解得{x=❑√22,y=3❑√22或{x=3❑√22,y=-❑√22.因为向量a按逆时针旋转π4后,向量对应的点在第一象限,所以x>0,y>0.所以b=(❑√22,3❑√22),故选B.答案B6.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量⃗MN的模为.解析 a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得x=4,∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). (a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,即6-3(-2-y)=0,解得y=-4,∴⃗MN=(y-x,x-y)=(-8,8),∴|⃗MN|=8...
