高考数学 专题32 直线、平面垂直的判定与性质热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题32直线、平面垂直的判定与性质1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理。2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。热点题型一证明直线与平面垂直例1、已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点。(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC。证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DE∥BC，且DE⊥AB， SA＝SB，∴△SAB为等腰三角形。∴SE⊥AB。 SE⊥AB，DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE。而SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD。在△SAC中， SA＝SC，D为AC中点，∴SD⊥AC。 SD⊥AC，SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC。【提分秘籍】证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理。(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”。(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”。(4)利用面面垂直的性质定理。【举一反三】如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB。求证：PA⊥CD。解析：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO。因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD。热点题型二证明平面与平面垂直例2、如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD，求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA。证明：如图，取AC中点N，连接MN、BN， EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，∴EC∥BD。△ECA中，M、N分别是EA、CA中点，∴MN∥EC，且MN＝EC。又 EC＝2BD，∴MN∥BD且MN＝BD。∴四边形MNBD是平行四边形。∴MD∥BN。 EC⊥平面ABC，且BN⊂平面ABC，∴EC⊥BN。 正三角形ABC中，N是AC中点，∴BN⊥AC。又AC∩EC＝C，∴BN⊥平面ECA，∴MD⊥平面ECA。(1) MD⊥平面ECA，MD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA。(2) MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA。【提分秘籍】面面垂直的证明方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题。(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决。提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。这是把面面垂直转化为线面垂直的依据。运用时要注意“平面内的直线”。【举一反三】如图所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于点E，AF⊥PB于点F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF。(2)因为AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC。(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB。又AF⊥PB于点F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF。又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF。热点题型三线面角与二面角的求法例3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点。(1)求PB和平面PAD所成的角的大小。(2)证明AE⊥平面PCD。(3)求二面角A－PD－C的正弦值。解析：(1)在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角。在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°。所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°。(2)证明：在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC。又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD。由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA。因为E是PC的中点，所以AE⊥PC。又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD。(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示。在Rt△AEM...