广东省始兴县风度中学高三数学（文）尖子生培优训练资料1、已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得00得01.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xlnx，f′(x)＝lnx.由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：又2－<2，所以函数f(x)(x∈)的值域为[1,2]．据此可得，若相对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点；并且对每一个t∈(－∞，m)∪(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点．综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点．2、【解答】(1)设Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)点处切线方程为y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，由y＝0得xk＝xk－1－1(2≤k≤n)．(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk＝－(k－1)，所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)＝＝.3、【解答】(1)f′(x)＝(x2－k2)e.令f′(x)＝0，得x＝±k.当k＞0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－10所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．当k＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤.解得－≤k＜0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是.45
