专题18三角函数的图象和性质1．若函数f(x)＝sin(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ的值是()A.B.C.D.解析：f(x)＝sin是偶函数．∴＝kπ＋，即φ＝3kπ＋π，k∈Z.又φ∈[0，2π]，取k＝0，得φ＝π.答案：C2．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③3．若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：由题知＋＝kπ＋(k∈Z)⇒ω＝6k＋2(k∈Z)⇒ωmin＝2.答案：B4．将函数y＝sin的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝－解析：由题意知平移后的函数解析式为y＝sin＝sin，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)．结合选项知，选A正确．答案：A5．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则()A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递减C．f(x)在上单调递增D．f(x)在上单调递增解析：由T＝π，知ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝sin(2x＋φ＋)，又f(x)是偶函数．∴φ＋＝kπ＋，则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|＜，∴φ＝，故f(x)＝sin＝cos2x.因此f(x)在上单调递减．答案：A6．将函数f(x)＝cosx－·sinx(x∈R)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则ɑ的最小值是()A.B.C.D.解析：f(x)＝cosx－sinx＝2＝2cos，将f(x)的图象向左平移ɑ(ɑ＞0)个单位长度后得到y＝2cos的图象，则由题意知＋ɑ＝＋kπ，k∈Z，所以ɑ＝＋kπ，k∈Z.又因为ɑ＞0，所以ɑ的最小值为.答案：B7．函数f(x)＝sin2x＋2sin2x－1(x∈R)的最小正周期为__________，最大值为__________。解析：由已知得f(x)＝sin2x－cos2x＝sin，故最小正周期为T＝＝π，最大值为。答案：π8．函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为__________。解析：因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝cosφsinx－sinφcosx＝sin(x－φ)，又－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1。答案：19．已知函数f(x)＝|cosx|·sinx，给出下列五个说法：①f＝－；②若|f(x1)|＝|f(x2)|，则x1＝x2＋kπ(k∈Z)；③f(x)在区间上单调递增；④函数f(x)的周期为π；⑤f(x)的图象关于点成中心对称。其中正确说法的序号是__________。解析：对①：f＝sin＝sin＝－，①正确；对②：＝≠＝－，故②不正确；对③：x∈时，f(x)＝cosxsinx＝sin2x，易知f(x)在区间上单调递增，故③正确；对④：f＝≠f＝－，故函数f(x)的周期不是π；对⑤：－f＝－sin＝|sinx|cosx，f(x)＝|cosx|sinx，显然二者不恒相等，故不是f(x)的中心对称点。答案：①③10．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．11.已知函数y=cos.(1)求函数的最小正周期.(2)求函数的对称轴及对称中心.(3)求函数的单调增区间.【解析】(1)由题可知ω=,T==8π,所以函数的最小正周期为8π.(2)由x+=kπ(k∈Z),得x=4kπ-(k∈Z),所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);又由x+=kπ+(k∈Z),得x=4kπ+(k∈Z);所以函数的对称中心为(k∈Z).(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);所以函数的单调递增区间为,k∈Z.12.已知函数f(x)=2sin.(1)求函数的最大值及相应的x值集合.(2)求函数的单调区间.(3)求函数f(x)的图象的对称轴与对称中心.【解析】(1)当sin=1时,2x-=2kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z,此时函数取得最大值为2;故f(x)的最大值为2,使函数取得最大值的x的集合为.(3)由2x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z.即函数f(x)的图象的对称轴为x=+kπ,k∈Z.由2x-=kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,即对称中心为,k∈Z
