知能专练（九）数列的通项一、选择题1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8B．10C．12D．14解析：选C设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.2．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝()A．2n－1B．2n＋1C．2n＋1－1D．2n－1＋2解析：选B据已知易得an＝2n－1，故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，变形为bn＋1－1＝2(bn－1)，即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn－1＝2n，解得bn＝2n＋1.故选B.3．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5且对于大于2的正整数，总有an＝an－1－an－2，则a2018等于()A．－5B．5C．－3D．3解析：选Ban＋6＝an＋5－an＋4＝an＋4－an＋3－an＋4＝－(an＋2－an＋1)＝－an＋2＋an＋1＝－(an＋1－an)＋an＋1＝an，故数列{an}是以6为周期的周期数列，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝5，故选B.4．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝B．an＝C．an＝n＋2D．an＝(n＋2)3n解析：选B由an＝an－1＋n(n≥2且n∈N*)，得3nan＝3n－1an－1＋1,3n－1an－1＝3n－2an－2＋1，…，32a2＝3a1＋1，以上各式相加得3nan＝n＋2，故an＝.5．(2017·宝鸡模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式为an＝()A．(n＋1)3B．(2n＋1)2C．8n2D．(2n＋1)2－1解析：选A当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减得，4an＝－，即＝，所以an＝··…··a1＝··…··8＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3.6．在各项均不为零的数列{an}中，若a1＝1，a2＝，2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，则a2018＝()A.B.C.D.解析：选C因为2anan＋2＝an＋1an＋2＋anan＋1(n∈N*)，所以＝＋，所以是等差数列，其公差d＝－＝2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，an＝，所以a2018＝.二、填空题7．已知数列{an}中，a3＝3，an＋1＝an＋2，则a2＋a4＝________，an＝________.解析：因为an＋1－an＝2，所以{an}为等差数列且公差d＝2，由a1＋2d＝3得a1＝－1，所以an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，a2＋a4＝2a3＝6.答案：62n－38．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝a2＝1，{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，则{an}的通项公式an＝________.解析：因为{nSn＋(n＋2)an}为等差数列，且S1＋3a1＝4,2S2＋4a2＝8，则该等差数列的公差为14，所以nSn＋(n＋2)an＝4＋4(n－1)＝4n，即Sn＋an＝4，Sn－1＋an－1＝4(n≥2)，两式相减整理得＝(n≥2)，则an＝a1···…·＝×1×××…×＝，经验证n＝1时也符合，所以an＝.答案：9．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．解析：设△A1B1O的面积为S0，梯形AnBnBn＋1An＋1的面积为S⇒＝2⇒S＝3S0，＝2⇒＝2.由上面2种情况得＝2⇒222·…·2＝2＝···…·＝⇒2＝⇒an＋1＝，且a1＝1⇒an＝，n∈N*.答案：an＝，n∈N*三、解答题10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1＋an－1(n≥2)．(1)求a2，a3；(2)证明：an＝.解：(1)易知a2＝4，a3＝13.(2)证明：由于an＝3n－1＋an－1(n≥2)，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)．∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝3n－1＋3n－2＋…3＋1＝(n≥2)，经检验，n＝1时也满足上式，故an＝.11．数列{an}满足a1＝1且8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1)，记bn＝(n≥1)．(1)求b1，b2，b3，b4的值；(2)求数列{bn}的通项及数列{anbn}的前n项和Sn.解：(1)由bn＝，得an＝＋.代入递推关系8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0，整理得－＋＝0.即bn＋1＝2bn－.由a1＝1得b1＝2，所以b2＝，b3＝4，b4＝.(2) bn＋1＝2bn－，∴bn＋1－＝2，b1－＝≠0.∴是以为首项，以2为公比的等比数列．故bn－＝×2n，即bn＝×2n＋.由bn＝得anbn＝bn＋1，故Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(b1＋b2＋…...
