命题角度5.3：直线与抛物线位置关系1.已知圆,在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)点,点（与不重合）在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为,.求证：（其中为坐标原点）.【答案】（I）;(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析：（I）原点在圆上，抛物线准线与圆相切，可得三者之间的关系，进而求出的方程；(Ⅱ)设，，，利用导数求得两切线方程，利用根与系数关系可证，即证两角相等．解法二：因为圆的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆必过抛物线的焦点，又圆过原点，所以，又圆的半径为3，所以，又，又，得，所以．所以抛物线方程．解法三：因为圆与抛物线准线相切，所以，且圆过又圆过原点，故，可得，解得，所以抛物线方程(Ⅱ)解法一：设，，，方程为，所以，5分求得抛物线在点处的切线的斜率，所以切线方程为：，即，化简得，又因过点，故可得，，即，同理可得，所以为方程的两根，所以，，因为，所以，化简．所以．解法二：依题意设点，设过点的切线为，所以，所以，所以，即，不妨设切线的斜率为，点，，所以，，又，所以，所以，所以，，即点，同理点，因为，所以，同理，所以，所以．2.已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为．(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)设，是轨迹上的两点，且，，记，求的最小值．【答案】(1)；(2).试题解析:(1)设，的中点，连，则：，，∴.又,∴∴，整理得.(2)设，，不失一般性，令，则， ,∴,解得③直线的方程为：，,即，令得，即直线恒过定点，当时，轴，，．直线也经过点.∴.由③可得,∴.当且仅当，即时，.3.过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.（1）证明:为定值;（2）记△的外接圆的圆心为点,点是抛物线的焦点,对任意实数,试判断以为直径的圆是否恒过点?并说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)对求导，得到直线的斜率为，进一步得到直线的方程为.将点点代入直线方程，整理得.同理,.又,所以为定值.(Ⅱ)由题意可得)直线的垂直平分线方程为.①同理直线的垂直平分线方程为.②由①②解得点.又抛物线的焦点为则由，可得所以以为直径的圆恒过点同理,.所以是方程的两个根.所以.又,所以为定值.法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为,由消去得,由,化简得.所以.由,得,所以.所以直线的斜率为,直线的斜率为.所以,即.又,所以为定值.由①②解得,,所以点.抛物线的焦点为则由于，所以所以以为直径的圆恒过点另法:以为直径的圆的方程为把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.所以以为直径的圆恒过点法2：设点的坐标为，则△的外接圆方程为，由于点在该圆上，则，.两式相减得,①由(Ⅰ)知,代入上式得,当时,得,②假设以为直径的圆恒过点,则即,得,③由②③解得,所以点.当时,则,点.所以以为直径的圆恒过点点睛：本题考查抛物线的基本性质以及直线与抛物线的位置关系，属中档题.解释要注意灵活应用韦达定理以及向量有关知识4.已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点的面积为．（I）求抛物线的方程；（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（I）抛物线焦点为，写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后可得，其中，可再求出原点到直线的距离，由求得，也可由求得；试题解析：（I）依题意，，所以直线的方程为；由得，所以，到的距离，，抛物线方程为（II）设，由得，则切线方程为即，同理，切线方程为，把代入可得故直线的方程为即由得，，当与圆相切时角最大，此时，等号当时成立当时，所求的角最大．综上，当最大时点的坐标为点睛：在解析几何中由于的边过定点，因此其面积可表示为，因此可易求，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II）小题中如能发现则知是圆的切线，因此取最大值时，中一条与重合，另一条也是圆的切线，从而易得解．另解：（I）依题意，，所以直线的方程为；由得，，，抛物线方程为．（II）设，由得，则切线方程为即，同理，切线方程为，把代入可得故直线的方程为即由得，，注意到，当且仅...
