山西省吕梁市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若复数z满足z（i﹣1）=（i+1）2（i为虚数单位），则z为()A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最最北面的椅子，B、C二人必须坐标相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A．24种B．30种C．48种D．60种3．已知O、A、B、C为同一平面内的四个点，若2+=，则向量等于()A．﹣B．﹣+C．2﹣D．﹣﹣24．给定下列三个命题：p1：函数y=ax+x（a＞0，且a≠1）在R上为增函数；p2：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p3：cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β（k∈Z）．则下列命题中的真命题为()A．p1∨p2B．p2∧p3C．p1∨￢p3D．￢p2∧p35．执行如图所示的程序框图，若输入的a的值为3，则输出的i=()A．7B．6C．5D．46．设P为双曲线C：x2﹣y2=1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左右焦点，若cos∠F1PF2=，则△PF1F2的外接圆的半径为()A．B．3C．D．97．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()1A．2B．2C．D．28．对累乘运算π有如下定义：ak=a1×a2×…×an，下列命题中的真命题是()A．2k不能被10100整除B．=22015C．（2k﹣1）不能被5100整除D．（2k﹣1）2k=k9．设变量x，y满足|x﹣1|+|y﹣a|≤1，若2x+y的最大值是5，则实数a的值是()A．2B．1C．0D．﹣110．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q（﹣1，），与C交于点P，则点P的坐标为()A．（1，2）B．（2，2）C．（3，2）D．（4，4）11．设△ABC的三个内角为A、B、C，且tanA，tanB，tanC，2tanB成等差数列，则cos（B﹣A）=()A．﹣B．﹣C．D．12．设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3，x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为()2A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，ln）C．（ln，0）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的表面上，若PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球O的表面积为__________．14．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷的向上点数比乙大，则甲掷的向上点数的数学期望是__________．15．已知函数f（x）=，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1、x2、x3互不相等），且x1+x2+x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为__________．16．在△ABC中，AC=2，AB=2，BC=，P是△ABC内部的一点，若==（S表示相应三角形的面积），则PA+PB+PC=__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在数列{an}中，a1=1，an+1•an=an﹣an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=ln，求数列{bn}的前n项和Sn．18．某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a．若某住户某月用电量不超过a度，则按平价（即原价）0.5（单位：元/度）计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b（单位：元/度）计费，未超出部分按平价计费，为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题（同一组数据用该区间的中点值作代表）：（Ⅰ）若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变；月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；（Ⅲ）在（Ⅰ）（Ⅱ）条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b．319．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AD=AB=1，BC=．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；（Ⅱ）设H为CD上一点，满足=2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H﹣PB﹣C的余弦值．20...
