第2课时定点、定值、开放问题[A级基础巩固]1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1·PF2<0，则x0的取值范围是()A.B.C.D.解析：由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则PF1·PF2＝(x0＋)·(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为()A．2B．3C.D.解析：由题意知，e＝＝＝2⇒b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝＝＝3.答案：B4．(2020·佛山一中月考)关于曲线C：＋＝1性质的叙述，正确的是()A．一定是椭圆B．可能为抛物线C．离心率为定值D．焦点为定点解析：因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误，因为a2－4可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线，若曲线为椭圆，则c2＝a2－(a2－4)＝4，所以c＝2，e＝，离心率不是定值，焦点(2，0)，(－2，0)，为定点，若曲线为双曲线，方程为－＝1，则c2＝a2＋(4－a2)＝4，所以c＝2，e＝，离心率不是定值，焦点(2，0)，(－2，0)，为定点．答案：D5．(2020·淮南二中月考)若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则OM·ON的值为()A．3B．4C．5D．与点P的位置有关解析：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为P是切点，所以MP的方程为－y0y＝1，且x－4y＝4，1由解得同理所以OM·ON＝x1x2＋y1y2＝·－·＝＝＝3.答案：A6．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．解析：由双曲线的性质知所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.答案：7．(2020·如皋市长江高中月考)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．解析：由题得：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，则直线过定点A(3，1)，点A在圆内，过A的弦最短即过圆心C和点A的直线与弦所在直线垂直时，弦长最短，AC＝＝＝，化简得(4m＋3)2＝0⇒m＝－.答案：－8．(2020·苏州市质检)椭圆E：＋＝1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率乘积为定值－，则动直线BC恒过定点的坐标为________．解析：由题意知A(－2，0)，设B(x1，y1)C(x2，y2)，设BC的方程为x＝ny＋t，代入椭圆方程得：(3n2＋4)y2＋6nty＋3t2－12＝0，则y1＋y2＝－，y1y2＝，直线AB与AC的斜率乘积为定值k1·k2＝·＝－，所以4y1y2＋(ny1＋t＋2)(ny2＋t＋2)＝0，即(n2＋4)y1y2＋n(t＋2)(y1＋y2)＋(t＋2)2＝0，韦达定理代入得t2＋t－2＝0，解得t＝1或－2，当t＝－2时，定点与A重合，舍去，所以t＝1，直线x＝ny＋1过定点(1，0)．答案：(1，0)9．(2020·抚州市期末)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程；(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．(1)解：由题意可知：椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，则椭圆的标准方程：＋y2＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，当斜率不存在时，x＝，y＝0与椭圆只有一个交点，不合题意．由题意得PQ的方程：y＝k(x－)－，则2整理得：(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，由韦达定理可知：x1＋x2＝，x1x2＝，则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，则kAP＋kAQ＝＋＝，由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，kAP＋kAQ＝＝...
