第8讲曲线与方程一、选择题1.已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P满足PA·PB=,则点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.拋物线解析设点P(x,y),则PA=(1-x,1-y),PB=(-1-x,-1-y),所以PA·PB=(1-x)(-1-x)+(1-y)(-1-y)=x2+y2-2.由已知x2+y2-2=,即+=1,所以点P的轨迹为椭圆.答案B2.已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是().A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线解析由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,故选D.答案D3.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为().A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1解析M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=,∴椭圆的标准方程为+=1.答案D4.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是().A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=0解析由题意知,M为PQ中点,设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.答案D5.已知二面角α-l-β的平面角为θ,点P在二面角内,PA⊥α,PB⊥β,A,B为垂足,且PA=4,PB=5,设A,B到棱l的距离分别为x,y,当θ变化时,点(x,y)的轨迹方程是()A.x2-y2=9(x≥0)B.x2-y2=9(x≥0,y≥0)C.y2-x2=9(y≥0)D.y2-x2=9(x≥0,y≥0)解析实际上就是求x,y所满足的一个等式,设平面PAB与二面角的棱的交点是C,则AC=x,BC=y,在两个直角三角形Rt△PAC,Rt△PBC中其斜边相等,根据勾股定理即可得到x,y所满足的关系式.如图,x2+42=y2+52,即x2-y2=9(x≥0,y≥0).1答案B6.在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AD=2AB,若P是平面ABCD内一点,且满足:xAB+yAD+PA=0(x,y∈R).则当点P在以A为圆心,|BD|为半径的圆上时,实数x,y应满足关系式为().A.4x2+y2+2xy=1B.4x2+y2-2xy=1C.x2+4y2-2xy=1D.x2+4y2+2xy=1解析如图,以A为原点建立平面直角坐标系,设AD=2.据题意,得AB=1,∠ABD=90°,BD=.∴B、D的坐标分别为(1,0)、(1,),∴AB=(1,0),AD=(1,).设点P的坐标为(m,n),即AP=(m,n),则由xAB+yAD+PA=0,得:AP=xAB+yAD,∴据题意,m2+n2=1,∴x2+4y2+2xy=1.答案D二、填空题7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0)、B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是____________.解析设抛物线焦点为F,过A、B、O作准线的垂线AA1、BB1、OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4,故F点的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案+=1(y≠0)8.如图,点F(a,0)(a>0),点P在y轴上运动,M在x轴上运动,N为动点,且PM·PF=0,PM+PN=0,则点N的轨迹方程为________.解析由题意,知PM⊥PF且P为线段MN的中点,连接FN,延长FP至点Q使P恰为QF之中点;连接QM,QN,则四边形FNQM为菱形,且点Q恒在直线l:x=-a上,故点N的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为:y2=4ax.答案y2=4ax9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在AB上,且AM=AB,点P在平面ABCD上,且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1,在平面直角坐标系xAy中,动点P的轨迹方程是________.解析过P作PQ⊥AD于Q,再过Q作QH⊥A1D1于H,连接PH、PM,可证PH⊥A1D1,设P(x,y),由|PH|2-|PM|2=1,得x2+1-=1,化简得y2=x-.答案y2=x-10.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;2③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.其中,所有正确结论的序号是________.解析①曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a=1,与条件不符...