课下层级训练(四十一)空间角问题[A级基础强化训练]1．三棱锥ABCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角ABDC的大小为()A．B．C．或D．或【答案】C[ 二面角的范围是[0，π]，且〈n1，n2〉＝，∴二面角ABDC的大小为或.]2．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于()A．B．C．D．【答案】D[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N，∴CN＝，AM＝.故cos〈AM，CN〉＝＝＝.]3．(2019·山东曲阜检测)直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A．B．C．D．【答案】C[建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.]4．(2019·山东潍坊月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A．B．C．D．【答案】B[设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，所以BB1＝(0,0,1)，AC＝(－1,1,0)，AD1＝(－1,0,1)．令平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AC＝－x＋y＝0，n·AD1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，所以sinθ＝|cos〈n，BB1〉|＝＝.]5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A．B．C．D．【答案】B[以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，∴有即解得∴n1＝(1,2,2), 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)．∴cos〈n1，n2〉＝＝，即所成的锐二面角的余弦值为.]6．(2019·湖南十校联考)有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为________.【答案】[设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD， 等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，∴OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0,0，)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，∴AB＝(0，－1，－)，CD＝(，－1,0)，∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，∴异面直线AB和CD所成角的余弦值为.]7．(2019·山东临沂模拟)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为________.【答案】[取AD中点O，连接OA1，易证A1O⊥平面ABCD．建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，－1,0)，D1(0,2，)，BD1＝(－2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为θ，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝.]8．如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________.【答案】60°[ CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝＝2.∴CA·BD＝|CA|·|BD|·cos〈CA，BD〉＝－24.∴cos〈CA，BD〉＝－.又所求二面角与〈CA，BD〉互补，∴所求的二面角为60°.]9．已知直三棱柱ABCA1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．【答案】解如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)，∴BD＝(0，－1,2),A1C＝(－2,0，－2)，∴cos〈BD，A1C〉＝＝－.∴异面直线BD与A1C所成角的余弦值为.10．(2017·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角BPDA的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【答案】(1)证明如图①设AC，BD交于点E，连接ME，因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点，所以M为PB的...
